Ten wpis jest debiutem naszego kolejnego autora gościnnego – Piotra Dworniczaka. Nazwisko nieprzypadkowe, nasi ojcowie byli braćmi. Piotr jest matematykiem, doktorem ekonomii i bardzo doświadczonym dydaktykiem. Mam nadzieję, że na trochę z nami tu pozostanie.

Czytałem dziś podręcznik do fizyki mojej córki, będącej w pierwszej klasie LO (Fizyka, ISBN 978-883028093-4). Na stronie 87 w przykładzie 10.4 jest omawiane „spadanie ciała, które ma niewielką gęstość i spada z dużej wysokości″. Podczas rozważań wykorzystuje się pojęcie siły oporu powietrza, której „wartość (dla niezbyt dużych szybkości) rośnie wprost proporcjonalnie do…” Rozważania są prowadzone dość klarownie, choć dociekliwy czytelnik może zapytać, co to właściwie znaczy niewielka gęstość, duża wysokość czy niezbyt duża szybkość.

Czy 100 km/h to niezbyt duża szybkość? No właśnie: to zależy czego (czyja) szybkość. W takim razie zależy od kontekstu wypowiedzi. Przyjmując znany nam, typowy, „nieruchomy″ układ odniesienia – Ziemię, szybkość 100 km/h jest dla naszego domowego chomika nieosiągalna, dla naszego samochodu osiągalna, a dla prywatnego odrzutowca (którego jeszcze nie mamy) podczas lotu niedopuszczalnie, niebezpiecznie mała! Czy 100 km/h jest wobec tego niezbyt dużą szybkością? A jeszcze dołóżmy do tego pytanie, czy 100,5 km/h też jest niezbyt dużą szybkością? A 101 km/h ? A 102, … … …? A kiedy nie będzie to już niezbyt duża szybkość?

W powyższym akapicie mamy do czynienia z pojęciem z języka naturalnego, który (najczęściej) rozumiemy. Nie jest to natomiast ścisły język matematyki klasycznej z opiniami tak – tak, nie – nie (a wszystko inne od złego pochodzi). W języku naturalnym ważne jest często, kto pyta, kto odpowiada i o czym się mówi. Matematyka klasyczna odpowie na pytanie, czy 7 jest większe od 5, nie odpowie natomiast na pytanie, czy 7 jest dużo większe od 5. Fizyka potrafi odpowiedzieć na pytanie, czy szybkość ciała to 5 m/s (uwaga pomiar!). Natomiast czy 5 m/s to niezbyt duża szybkość, już jest trudniejszym pytaniem, a odpowiedź zależy od kontekstu i osobistego doświadczenia niezbyt dużych szybkości. Pytanie o niezbyt dużą szybkość można sformułować nieco inaczej: które z szybkości 0, 1, 2, …, 1000 m/s należą do zbioru niezbyt dużych szybkości? Czy 5 m/s należy do tego zbioru? A 10 m/s? A 20 m/s? A gdyby przyjąć, że 20 m/s należy do takiego zbioru, to czy 21 m/s też (jest przecież tylko trochę większe od 20)? Czy szybkość 21 jest już jednak nie–niezbyt duża? Jaka zatem będzie odpowiedź na pytanie o wartość niezbyt dużej szybkości? Innymi słowy: jakie elementy będą należały do zbioru niezbyt dużych szybkości?

Tu pojawi się dziwna, nie-matematyczna uwaga: dla każdego oceniającego, dla każdego możliwego kontekstu odpowiedź ta może być inna! I gdzie tu ścisła matematyka? Pojawiła się stosunkowo niedawno (jak na matematykę, którą gdzieś w szkole lub na studiach spotykamy).

W 1965 roku Lotfi A. Zadeh napisał artykuł pod tytułem „Fuzzy sets″, co po polsku zostało przetłumaczone na „zbiory rozmyte″ (kiedyś automatyczny tłumacz tłumaczył na „niedokładne komplety″, ale to się nie przyjęło 😊). Autor opisał w nim definicję niespotykanych dotychczas zbiorów, do których elementy mogą nie tylko należeć albo nie należeć, ale mogą należeć/nie należeć w pewnym stopniu między stopniem 0 (pełnej nieprzynależności) a stopniem 1 (pełnej przynależności). Zadeh podał też podstawowe działania na tak określonych zbiorach i własności tych działań (analogiczne do spotykanych w szkole – sumy, części wspólnej, dopełnienia zbiorów). Dość dziwne, że takie zbiory zostały opisane dopiero w połowie XX wieku. Przypuszczam, że inspiracją była próba komunikacji z komputerem. Człowiek rozumie (jakoś!) zdanie: „jest dziś bardzo ciepło″. A komputer z architekturą zerojedynkową (tak – nie) nie rozumiał. Chyba że nauczył się zasad logiki wielowartościowej i opartej na niej teorii zbiorów rozmytych.

Podstawy logiki wielowartościowej, takiej, w której istnieją „półprawdy″, „ćwierćfałsze″ czy podobne „prawdy w jakimś tam stopniu″, stworzył 100 lat temu Polak Jan Łukasiewicz (to nie ten od lampy naftowej). Od tego czasu możemy powiedzieć: tak – tak, nie – nie, a wszystko inne od Łukasiewicza pochodzi. Zbiory rozmyte w zasadzie też (choć jak napisałem, powstały w 1965 roku).

Ile więc jest trochę mniej niż 2 razy trochę więcej niż 2? Około 4! 😊

Ale co znaczy i jak rozumieć to trochę mniej, trochę więcej i około? Czy i jak zrozumie to komputer (kalkulator)?

Tu już wchodzimy na modelowanie zbiorów rozmytych lub, dokładniej, liczb rozmytych. Jest to trudne i niejednoznaczne. Zaraz, zaraz, zapyta Czytelnik, jeśli niejednoznaczne, to czy mogą być różne wyniki??? Tak. Ale nie bardzo różne. Ciekawe i ważne jest, że zbiory rozmyte (logika rozmyta) mają bardzo nierozmyte zastosowania. Po prostu działają w realu. A jak i gdzie? Jak – to za trudne pytanie na ten artykuł, a gdzie – niech Czytelnik sam spróbuje znaleźć urządzenie (najłatwiej RTV – AGD) z napisem „fuzzy logic″.

Nieco bardziej zainteresowanych zapraszam także do przeczytania nietrudnego, podobnego tekstu z czasopisma Delta. Znacznie bardziej zainteresowanym proponuję czytanie książek na temat zbiorów rozmytych. Po polsku podstawowe są cztery. Najstarsza: Kacprzyk, J. Zbiory rozmyte w analizie systemowej, ISBN 830105497-2. Nowsze: Kacprzyk, J. Wieloetapowe sterowanie rozmyte, ISBN 832042650-2, Piegat, A. Modelowanie i sterowanie rozmyte, ISBN 838767414-1, Łachwa, A. Rozmyty świat zbiorów, liczb, relacji, faktów, reguł i decyzji, EAN 9788387674212. Po angielsku jest tego dużo więcej. W tytule zazwyczaj mają napis „fuzzy sets″ lub „fuzzy logic″.

PS. W wielu miejscach zapisałem kursywą wyrażenia rozmyte. Jest ich trochę? Prawda? Prawda?