System dziesiętny, czyli zamrożony przypadek

Do dziesiętnego systemu liczebników i jego matematycznego odpowiednika, czyli zapisu pozycyjnego liczb przy użyciu dziesięciu cyfr, przyzwyczailiśmy się tak bardzo, że często uważamy go za coś naturalnego i zrozumiałego samo przez się. Zauważmy jednak, że w liczbie 10 nie ma nic szczególnego, co wyróżniałoby ją spośród innych liczb naturalnych jako optymalną podstawę systemu liczbowego. W matematyce nie ma absolutnie żadnego znaczenia, w jakim systemie życzymy sobie zapisywać liczby. Żadne właściwości liczb nie zależą od zapisu. Siedem jest liczbą pierwszą niezależnie od tego, czy zapisane jest w systemie dziesiętnym jako 7, w siódemkowym jako 10, w trójkowym jako 21 czy w dwójkowym jako 111.

Dlaczego zatem wybraliśmy dziesięć jako podstawę? Złożyło się na to kilka przypadków. Jeden jest taki, że podwaliny matematyki, jaką znamy, stworzyli ludzie mówiący językami, w których już istniały dość rozwinięte podstawy systemu dziesiętnego. Były to języki indoeuropejskie, semickie, a także staroegipski. W każdym z nich istniały liczebniki oznaczające liczby 1–10, a liczebniki wyższe wyrażano jako sumy wielokrotności potęg dziesiątki. Czyli np. 263 wyrażano jako ‘dwie setki, sześć dziesiątek i trzy’. We wszystkich trzech grupach języków podstawą do utworzenia liczebnika ‘dwadzieścia’ była liczba podwójna od ‘dziesięć’, a przynajmniej niektóre z liczebników dziesiątkowych 30–90 tworzono jako złożenia liczebników 3–9 z liczebnikiem ‘dziesięć’. Języki indoeuropejskie poszły nawet o krok dalej: słowo *(d)ḱm̥tóm oznaczające ‘sto’ było derywatem utworzonym na podstawie *déḱm̥(t) ‘dziesięć’ i oznaczało dosłownie ‘pochodzące od dziesięciu’.

Oznacza to, że już kilka tysięcy lat temu niektóre ludy żyjące na etapie rozwoju kulturowego klasyfikowanego z grubsza jako neolit lub chalkolit wpadły na pomysł, jak przy użyciu kilku liczebników prostych (podstawowych) zbudować w miarę regularny system nazywania liczb znacznie większych. Zrobiły to, jak się zdaje, niezależnie od siebie, bo podobieństwa dotyczą struktury systemu i nie wiążą się z pokrewieństwem poszczególnych liczebników. Języki semickie i staroegipski są co prawda dalekimi krewnymi w obrębie rodziny afroazjatyckiej, ale używane w nich nazwy liczb ‘dziesięć’, ‘sto’ i ‘tysiąc’ nie są spokrewnione, nie ma więc dowodu, że system dziesiętny istniał już w języku, który był ich wspólnym przodkiem.

System dziesiętny nie wziął się z powietrza. Analiza poszczególnych liczebników „prostych” ujawnia szczegóły, które wskazują na ich genetyczną niejednorodność i ślady różnych warstw chronologicznych. Na przykład część liczebników praindoeuropejskich zachowywała się jak przymiotniki, część miała wyraźne pochodzenie rzeczownikowe, część była nieodmienna lub stała się taka już w prajęzyku. Być może przed wprowadzeniem konsekwentnego liczenia dziesiątkami grupowano liczebniki po cztery (indoeuropejskie ‘osiem’ ma końcówkę liczby podwójnej). Niewątpliwie istniały systemy prekursorskie, w których tylko ograniczony zbiór niewielkich liczb miał ustalone nazwy i nie używano wielokrotności oraz potęg podstawy jako jednostek wyższego rzędu. Nawet kiedy utrwalił się system dziesiątkowy, nie oznaczało to, że można go było dowolnie rozszerzać. Indoeuropejczycy potrafili liczyć setkami, ale indoeuropejskie liczebniki oznaczające ‘tysiąc’ nie są sprowadzalne do jednego wspólnego przodka i powstały raczej po rozpadzie prajęzyka. Staroegipski system liczebników kończył się na milionie, mniej więcej utożsamianym z nieskończonością. Sporo czasu upłynęło, zanim umysły klasy Archimedesa pojęły, że można ten system rozszerzać bez końca i definiować dowolnie wielkie liczby.

Czy to, że trzy niezależnie rozwinięte systemy liczenia opierają się na tej samej dziesiątkowej podstawie, może być przypadkiem? Dlaczego dziesięć, a nie trzy, siedem lub osiemnaście? Na początek warto sprawdzić, jak to wygląda w innych rodzinach językowych. Przede wszystkim wiele języków w ogóle nie posiada reguł umożliwiających tworzenie rozszerzalnego systemu liczebników złożonych. Mają system zamknięty, umożliwiający liczenie tylko do pewnej liczby N, ale niesprowadzający większych liczb do jej wielokrotności. Na przykład stosują konwencjonalne uporządkowanie części ciała, przypisując im kolejne liczby aż do wyczerpania listy. Bywają to liczby dziwne z naszego punktu widzenia, np. 27 (dlatego, że tyle wyróżniono części ciała, a nie dlatego, że 27 = 3³). Ale tu i ówdzie ktoś wpada na pomysł użycia tej liczby jako podstawy do powiększenia systemu. Wspomniałem tu kiedyś o języku huli z Nowej Gwinei, w którym używa się systemu piętnastkowego: 30 jest wyrażane jako ‘podwójna piętnastka’, a 225 jako ‘piętnaście piętnastek’.

Otóż tam, gdzie do takiego rozszerzenia doszło, podstawą jest najczęściej dziesięć, nieco rzadziej dwadzieścia. Zdarzają się systemy, w których liczy się piątkami, czasem czwórkami lub ósemkami, wyjątkowo także szóstkami (gdzie 36 jest wyrażane jako ‘sześć szóstek’) lub dwunastkami. Bywają też systemy hybrydowe z podstawą główną i podstawą pomocniczą, np. piątkowo-dwudziestkowe, dziesiętno-dwudziestkowe (patrz francuskie quatre-vingt-dix ‘90’, dosłownie: cztery dwudziestki i dziesięć) albo dziesiętno-sześćdziesiątkowe (jak system używany w starożytnej Mezopotamii). W każdym razie liczba 10 przewija się szczególnie często.

Raczej nas to nie dziwi, bo natura zaopatrzyła nas w przenośny kalkulator do porównywania liczebności zbiorów – pięć palców u jednej ręki i pięć u drugiej, razem dziesięć; ewentualnie można użyć jeszcze palców u nóg. W niektórych kulturach liczono nie palce, ale przerwy między palcami, co wyjaśnia okazyjne pojawianie się systemów ósemkowych. A zatem mamy kolejny element wyjaśnienia: używamy dziś powszechnie podstawy dziesięć do zapisu pozycyjnego liczb, ponieważ tak się złożyło, że w kilku historycznie ważnych rodzinach językowych wynaleziono tworzenie liczebników złożonych metodą najczęściej spotykaną (a nie na przykład wyrażając je jako wielokrotności ośmiu lub piętnastu, co w zasadzie też mogło było się zdarzyć). Biorąc pod uwagę ludzką skłonność do wykorzystywania części ciała w prymitywnej arytmetyce, a zwłaszcza do liczenia na palcach, dziesięć nie jest co prawda jedyną możliwością, ale należy do najbardziej prawdopodobnych.

Szkielet uchatki Eumetopias jubatus. Łatwo policzyć na palcach, że zachowała ona po pięć palców u każdej kończyny mimo zmian anatomicznych spowodowanych przez konieczność przystosowania się do życia w oceanie. Foto: Oregongirlmary. Źródło: Wikimedia (licencja CC BY-SA 3.0).

No tak, ale dlaczego mamy dziesięć palców? Ponieważ nasze kończyny zachowały dość prymitywną anatomię odziedziczoną po wspólnym przodku wszystkich ssaków, który był pięciopalczasty. Zauważmy, że w wielu liniach ewolucyjnych ssaków liczba palców u przednich, tylnych lub wszystkich nóg uległa redukcji, ale w żadnej z nich nie utrwaliła się liczba większa niż pięć. Przyczyna jest następująca: łatwiej zmniejszyć liczbę podstawowych elementów szkieletu kończyn, niż ją zwiększyć. Zakodowane w genomie czynniki regulujące takie szczegóły jak liczba palców są wielofunkcyjne i jednocześnie odpowiadają za rozwój wielu innych cech organizmu na wczesnym etapie rozwoju embrionalnego.

Redukcja liczby palców z rozwojowego punktu widzenia wygląda tak, że odpowiedni proces zostaje uruchomiony i zawiązek palca zaczyna się formować, a następnie rozwój zostaje zahamowany, a palec ulega zanikowi (nawet konie w rozwoju embrionalnym mają zawiązki pięciu palców, z których pozostaje jeden). Nie zakłóca to działania sieci regulujących ekspresję genów. Natomiast zwiększenie tej liczby wymagałoby zmian w obrębie genów Hox lub elementów regulatorowych powiązanych funkcjonalnie z mnóstwem innych. Dlatego mutacje powodujące hiperdaktylię (nadmiarową liczbę palców) zwykle wywołują także cały zespół wrodzonych nieprawidłowości rozwojowych w narządach z pozoru niemających nic wspólnego z kończynami i palcami. Zmniejszają one przeżywalność i sukces reprodukcyjny nosicieli; dobór naturalny przeciwstawia się zatem ich utrwaleniu w puli genetycznej gatunku. Ewolucji łatwiej jest wyprodukować w razie potrzeby imitację dodatkowego palca (jak fałszywy kciuk pandy wielkiej i pandki rudej lub podobne struktury u kretów i słoni) niż majstrować przy genach odpowiedzialnych za ogólny plan budowy organizmu.

U waleni – ssaków morskich, których przednie kończyny przekształciły się w płetwy, a tylne zanikły – występuje hiperfalangia (zwiększenie liczby paliczków), ale liczba palców nadal nie przekracza pięciu (poza indywidualnymi przypadkami hiperdaktylii nieobejmującej całego gatunku). Wyjątkiem jest morświn kalifornijski (Phocoena vaquita), który ma mały dodatkowy palec wciśnięty między dwa inne. Ponieważ populacja tego gatunku jest bardzo mała, można podejrzewać, że jego sześciopalczastość to skutek mutacji utrwalonej przez przez dryf losowy, a nie efekt przystosowania.

Pięciopalczastość jest też normą u gadów. Podobnie jak u ssaków u wielu gatunków występuje zredukowana liczba palców (albo w ogóle zanik kończyn), ale wśród żyjących gadów brak takich, które miałyby ich więcej niż pięć. Hiperfalangia zdarzała się u wymarłych gadów morskich, a u niektórych ichtiozaurów i ich bliskich krewnych mogła jej towarzyszyć hiperdaktylia (nawet do dziesięciu palców w płetwie i do 20–30 paliczków w palcu), ale polegała ona zwykle na rozszczepianiu paliczków, czyli jakby na rozgałęzianiu się już istniejących palców, a nie na rzeczywistym zwiększaniu ich liczby. Można więc uznać, że gady, podobnie jak ssaki, przez całą swoją historię przestrzegały zasady niepowiększania liczby palców ponad pięć.

Pięć palców u każdej kończyny miał ostatni wspólny przodek gadów (włącznie z ptakami) i ssaków, czyli protoplasta wszystkich owodniowców (Amniota), żyjący prawdopodobnie ok. 315 mln lat temu. Jeszcze wcześniej, może ok. 340 mln lat temu, żył ostatni wspólny przodek owodniowców i płazów. Pytanie, ile miał palców, nie jest takie proste. Być może także cztery razy po pięć, bo współczesne płazy mają maksymalnie po 5 palców u tylnych nóg i 4 u przednich. Ale embrionalny rozwój kończyn u płazów przebiega nieco inaczej niż u owodniowców, a żaby mogą mieć w tylnych stopach dodatkowe elementy kostne uważane przez część badaczy za prawdziwe, choć szczątkowe „szóste palce”. Dopóki żaboznawcy i paleontolodzy nie wyjaśnią tego do końca, trzeba się liczyć z możliwością, że dogmat o pięciopalczastości ostatniego wspólnego przodka współczesnych czworonogów (Tetrapoda) wymaga rewizji. Pewne jest w każdym razie, że jego poprzednicy, którzy wyszli na ląd w dewonie, miewali więcej niż pięć palców. Acanthostega miała ich po osiem u kończyn przednich, a Ichthyostega po siedem u tylnych (więcej trudno orzec, bo szkielety są niekompletne). Tulerpeton był sześciopalczasty. Wydaje się, że na początku karbonu ustabilizowała się pięciopalczastość, a w każdym razie dotyczy to linii rodowej owodniowców.

Nie ma dowodów, że pięć ma tu jakieś szczególne znaczenie jako optymalna liczba palców. Liczne owodniowce zredukowały liczbę palców do czterech, trzech, dwóch lub jednego, a nawet do zera (te, które całkiem utraciły kończyny). Powód, dla którego liczba palców owodniowców nie przekracza pięciu, jest prozaiczny: redukcja ich liczby u najwcześniejszych czworonogów była jak mechanizm z zapadką. Łatwiej było tę liczbę zmniejszyć niż powiększyć, ale z drugiej strony palce spełniały różne pożyteczne funkcje, więc od jakiegoś momentu tempo redukcji zmalało i dalsze zmniejszanie liczby palców musiało być jakoś uzasadnione szczególnymi korzyściemi adaptacyjnymi. Być może czasem lepiej byłoby mieć więcej niż pięć palców, ale co raz utracili przodkowie, trudno przywrócić. Większość linii rozwojowych po prostu utrzymała liczbę palców odziedziczoną po wspólnym przodku. Podczas radiacji przystosowawczych w ciągu ostatnich 66 mln lat ssaki nieraz eksperymentowały z możliwością zmniejszenia liczby palców (zwłaszcza szybko biegające kopytne, ale do pewnego stopnia także drapieżne, gryzonie skoczkowate czy leniwce), jednak uganiający się po drzewach przedstawiciele naczelnych nie mieli żadnego powodu, żeby się wyrzec części ewolucyjnego spadku, który pomagał im mocno się trzymać gałęzi.

Reasumując: używamy systemu dziesiętnego, bo przodek wszystkich owodniowców 315 mln lat temu (lub jeszcze dawniej) miał po pięć palców u każdej z przednich łap. Przodkowie ssaków zachowali ten stan posiadania, podobnie jak naczelne. Kiedy Homo sapiens nauczył się liczyć, palce zaczęły pełnić dodatkową funkcję jako pomoc rachunkowa. Dzięki temu, kiedy pojawiły się rozbudowane systemy liczebników, dziesiętny schemat etykietowania liczb naturalnych od początku był faworyzowany przez ewolucję kulturalną. Zbiegiem okoliczności, który nie był co prawda nieunikniony, lecz był z góry prawdopodobny, ludzie, którzy stworzyli sformalizowaną arytmetykę, mieli już uwarunkowaną językowo skłonność do myślenia o liczbach w kategoriach dziesiętnych.

Gdyby przodek owodniowców zachował był liczbę palców akantostegi (2 × 8) w kończynach przednich, a jego potomkowie utrzymali tę liczbę „zamrożoną” przypadkiem przez ewolucję, być może posługiwalibyśmy się systemem ósemkowym lub szesnastkowym. Liczba π nie byłaby wtedy zapisywana jako  dziesiętne 3.14159265358979323846…, tylko jako ósemkowe 3,11037552421026430215… lub szesnastkowe 3,243F6A8885A308D31319… (gdzie symbole od A do F mają wartość liczbową od dziesięciu do piętnastu). Oczywiście nic by to nie zmieniło w jej właściwościach, bo zapis to tylko zapis.