zakaz Pauliego – Eksperyment Myślowy

Ostatnim razem wspomniałem o czymś, co nazywa się zakazem Pauliego i co ma podobno fundamentalne znaczenie dla istnienia naszego Wszechświata. Pauli znał zarówno Schrödingera, jak i Heisenberga, i często pomagał im w obliczeniach, za każdym razem powtarzając: “To faktycznie wygląda na skomplikowane – dla was”. Pewnego razu, gdy analizował równanie Schrödingera, natrafił na coś, co wydało mu się ciekawostką: gdy próbował opisać funkcję falową dwóch elektronów, wyszło mu zero. Właśnie wnioski z tego wyniku doprowadziły go do sformułowania zakazu nazwanego jego imieniem. Co takiego ciekawego było w owym zerze i jakie wnioski wyciągnął Pauli? Już wyjaśniam i postaram się unikać matematyki 🙂

Jak pisałem poprzednim razem – elektron to jest coś maksymalnie prostego. Jeślibyście zobaczyli jeden, to spokojnie moglibyście powiedzieć że widzieliście wszystkie. Jest to cząstka tak prosta, jak to tylko możliwe – do tego stopnia, że gdybym nagle podmienił wszystkie elektrony wchodzące w skład atomów waszych ciał na elektrony z atomów, które tworzą drzewo, rudę uranu itp., to nikt nie potrafiłby powiedzieć, który jest który ani gdzie był wcześniej. Wszystkie mają dokładnie tę samą masę i ładunek. Jedyne co mają “inne”, to opisujące je liczby kwantowe, o których również pisałem poprzednio. Jeśli atom wyobrazić sobie jako blok mieszkalny, to “n” danego elektronu określa piętro, czyli powłokę, na której należy go szukać; dzięki liczbie “l” wiemy, jaki rodzaj apartamentu (podpowłoki) zajmuje na danym piętrze; pozostałe z nich to liczba magnetyczna i magnetyczna liczba spinowa, która mówi nam, czy nasz elektron raczej chodzi na nogach, czy na rękach, albo w którą stronę ma zwrócony spin 🙂 Proszę oczywiście nie brać tych porównań dosłownie. Na tym poziomie nasze wyobrażenia, delikatnie mówiąc, mijają się z prawdą, ale jakoś wyobrazić to sobie trzeba. Pozostańmy więc przy analogii z blokiem mieszkalnym.

Pauli postanowił sprawdzić, czy da się obliczyć funkcję falową dwóch elektronów przy założeniu, że liczby kwantowe je opisujące mają te same wartości dla n, l, m, m_s i spinu 1/2. Nie wchodząc w matematykę, wartość takiej funkcji wynosi właśnie wspomniane wcześniej zero. Pauli nie był pewien, co to do końca oznacza. Matematyka ewidentnie wskazywała, że gdyby próbować upchnąć dwie cząstki o tych samych parametrach w tym samym stanie, to będą “nigdzie”, a “nigdzie” to stanowczo zbyt precyzyjne położenie, jak mógłby przypomnieć koledze Heisenberg. Czy zatem Pauli popełnił jakiś błąd w obliczeniach? Nie, jeśli pomyślimy, jakie to niesie konsekwencje dla budowy samego atomu.

Gdyby szukać elektronów wokół atomowego jądra, to są takie obszary, w których powinno się szukać “bardziej”, i można obliczyć ich położenie, znając parametry elektronu opisane liczbami kwantowymi. Dodatkowo mamy ten komfort, że owe liczby nie mogą być dowolne. Same elektrony są na tyle uprzejme, że dążą do tego, aby zajmować poszczególne powłoki po kolei, zaczynając od pierwszej, a dodatkowo można je przez zakaz Pauliego przyrównać do skłóconych sąsiadów, którzy nie mogą nawet na siebie patrzeć, więc dążą do tego, aby w atomie mieszkać jak najdalej od siebie, nie wydatkując bezsensownie energii. To, ile mieści się elektronów na danym piętrze, wynika z numeru piętra, gdy wykonać na nim proste działanie 2n²: na pierwszym maksymalnie dwa, na drugim 8, na trzecim 18 i tak dalej. To, jakie rodzaje apartamentów tam znajdziemy, wynika zaś z liczby “l“.

Na pierwszym piętrze-powłoce mamy wyłącznie orbital s, na drugim s oraz p, na trzecim znajdziemy s, p, d, a kolejne, wyższe, powłoki wzbogacają się o kolejne literki. Aby mogło się otworzyć kolejne piętro, poprzednie musi być zapełnione. To, ile elektronów może się mieścić na danym piętrze, można sobie łatwo wyliczyć z wzoru n = 4l + 2. Wygląda niezbyt przyjaźnie, ale przypominam, że jesteśmy w świecie kwantów i tu n i l nie mogą mieć dowolnych wartości.

Policzmy dla przykładu bo to banalne. Jeśli n=1 a l=0 to mamy pewność że na pierwszym piętrze jest wyłącznie orbital s gdzie mieszczą się dwa elektrony. Na kolejnej powłoce dojdzie p i później d. Od elektronu utrzymanie się na danym piętrze wymaga energii a tę każdy z nich chciałby mieć jak najmniejszą więc nic dziwnego że najbardziej cenią “adres” 1s który można powiedzieć że jest energetycznie najtańszy. Jeśli pierwszy “adres” jest w pełni zajęty to elektron “wybierze” kolejny czyli 2s gdzie trzeba już trochę więcej energii ale nadal jest to lepiej niż pakować się prosto na 2p i tak dalej jak na obrazku poniżej. Gdyby nie zakaz Pauliego to wszystkie elektrony wybrałyby “lokal” 1s i ciężko powiedzieć jak wyglądałby świat w którym wszystkie pierwiastki miałyby cechy gazów szlachetnych.

Gdyby trzymać się porównania do bloku mieszkalnego, to najwyższy standard mają gazy szlachetne, które mają na ostatnim piętrze osiem elektronów, co ma w uproszczeniu tę zaletę, że ich atomy mają ogólnie najniższą energię jako całość. Nic dziwnego, że inne atomy dążą do podobnego stanu stabilności energetycznej. Tylko skąd brać te elektrony do brakującej ósemki na ostatnim piętrze? Najprościej pójść na układ i stworzyć osiedle z wspólnym piętrem, które w szkole nazywano wiązaniem chemicznym.

To, że poszczególne pierwiastki dążą do uzyskania jak najniższego stanu energetycznego jako całość i że elektrony nie mogą występować w jednym stanie z tymi samymi liczbami, daje nam całą chemię. Woda to H₂O i powstaje właśnie dlatego, że wodór dąży do zapełnienia swojej ostatniej powłoki dwoma elektronami, aby przypominać hel; tlen dąży do uzyskania ośmiu, aby osiągnąć konfigurację neonu. Te dwa pierwiastki również występują powszechnie, łącząc swoje atomy w pary; dlatego tak często widzimy H₂ i O₂ w różnych zapisach i artykułach. Kryształki soli również powstają nieprzypadkowo: sód chętnie odda ostatni elektron, a chlor chętnie go przyjmie; a skoro sód w takim stanie ma przewagę protonów nad elektronami, to jego ładunek staje się dodatni, a ładunek chloru dokładnie na odwrót; a jak powszechnie wiadomo. “+” i “-” się przyciągają. Można powiedzieć, że za każdą z reakcji chemicznych stoi właśnie zakaz Pauliego i dążenie atomów do stabilności. To samo prawo stoi również za budową układu okresowego.

Pierwiastki różnią się liczbą protonów i elektronów. Gdyby próbować rozmieszczać elektrony wokół jąder każdego z nich według opisanych wyżej zasad, to zauważymy ciekawą prawidłowość: regularnie zdarzy się wam to samo ułożenie elektronów na ostatniej z powłok niezależnie od jej numeru. Pamiętacie że właściwości pierwiastków powtarzają się okresowo? Tak, właściwości pierwiastków wynikają również z tego zakazu, który kryje się za tym, jak zbudowany jest układ okresowy. Wiem, że może się to wydawać dziwne, ale tak właśnie jest. Nie wynika to z żadnej magii i nie jest trudne do zrozumienia, ale jakoś trudno przyjąć, że jest aż tak proste. Cóż – prawa rządzące mechaniką kwantową są dziwne, a zakaz Pauliego wcale nie jest najdziwniejszym z nich. Są cząstki, które ostentacyjnie ów zakaz ignorują i z ich postępowania wynika właściwie to, że istnieje coś, co zwykło się nazywać rzeczywistością, ale to już temat na kolejną historię.

Czytając “Gazetę Wyborczą”, natrafiłem na następujące zdanie w jednym z artykułów dotyczących obecnego stanu badań i wiedzy naukowej: “Ale nie podważa fundamentalnego kwantowego równania Schrödingera opisującego pełen stan cząsteczek chemicznych”. Cóż, jeśli coś jest opisywane jako “fundamentalne”, to głównie dlatego, że nie bardzo wiadomo, skąd się wzięło i dlaczego tak świetnie się sprawdza. Samo zaś równanie nie opisuje “pełnego stanu cząsteczek chemicznych”, a jedynie pozwala przewidzieć zmianę układu w czasie. I już wyjaśniam, co to znaczy po polsku.

Jak pamiętamy, cząstki charakteryzują się dziwaczną, dualną naturą, która sprawia, że mają zarówno cechy cząstek, jak i fali. Pomyślmy o czymś bardzo prostym, np. atomie wodoru, który składa się wyłącznie z protonu i elektronu. Te cząstki przyciągają się z powodu różnicy przenoszonych ładunków. Proton jest naładowany dodatnio, a elektron ujemnie, co tworzy tzw. “studnię potencjału”, którą można sobie wyobrazić jako swego rodzaju dołek. Jak zachowywałaby się fala w takim “dołku”? Powinna się odbijać od jego ścianek, a jeśli tak się stanie, to zacznie się na siebie nakładać: gdybyśmy chcieli obserwować taką falę z boku, to można by stwierdzić, że jedyne, co się porusza, to grzbiety i doliny, a punkty oznaczone kropkami pozostają w spoczynku. Tego rodzaju falę nazywamy falą stojącą. Jak łatwo stwierdzić, ma to niewiele wspólnego z modelem, w którym elektron krąży po jakiejś wyznaczonej orbicie, a jeszcze mniej z jakąkolwiek pewnością co do jego położenia etc.

Aby móc cokolwiek przewidzieć, warto posłużyć się równaniem Schrödingera, zawierającym funkcje falową, i wiedzą o stanie kwantowym. Funkcji falowej nie należy rozumieć tak, jak pojmujemy fale mechaniczne (np. falę dźwiękową) czy elektromagnetyczne, gdyż owa funkcja dotyczy postulowanych przez de Broglie’a fal materii, które przenoszą oprócz energii i pędu również masę, a także niekiedy ładunek elektryczny. Stan kwantowy zaś to informacje o całym układzie, które pozwalają nam przewidzieć wyniki różnych pomiarów – w tym przypadku stwierdzić, gdzie elektronu należy szukać.

Powyższe ilustracje to tzw. orbitale. Tu od razu wyjaśniam, że owe orbitale to nie miejsca, gdzie elektron jest, ale odpowiedź na pytanie, które brzmi: “Jeśli szukam elektronu o pewnych parametrach, to gdzie mam największe szanse na jego znalezienie?” Owe parametry definiują tzw. liczby kwantowe. O ile brzmi to nieprzyjemnie dla ucha, to jest bardzo proste do zrozumienia. Te parametry nie mogą być dowolne, ale zawsze przyjmują ściśle określone wartości np. energii, pędu czy jego momentu, a więc naturalnym wydało się, aby po prostu je ponumerować, jak piętra w budynku. W sumie atom można sobie wyobrazić jako taki budynek, w którym zamiast pięter mamy powłoki, a zamiast mieszkań różne podpowłoki. Elektron, aby przebywać na określonym piętrze, tj. powłoce, musi posiadać określoną energię; tym samym pierwsza z liczb kwantowych opisujących elektron mówi nam, na której z powłok można go znaleźć. Oznacza się ją jako “n” a jej wartości to 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 itd. Co ważne, w atomie, w przeciwieństwie do budynków, im wyżej, tym owe “piętra” mają więcej miejsca; a zatem, im numer wyższy, tym ów orbital większy.

Druga z tych liczb opisuje rodzaje apartamentów, tj. podpowłok, które możemy znaleźć na danej powłoce. Stąd właśnie różne kształty orbitali, które na ilustracjach opisałem jako s, p ,d. Oczywiście istnieją inne rodzaje, a każdy z nich może być odwracany i oglądany z różnych stron. Ta liczba jest opisywana jako “l” i przyjmuje wartości od 0 do n-1.

Kolejną z liczb jest liczba magnetyczna “m”, za pomocą której można określić, w którą stronę jest ów orbital zwrócony. Jest ona powiązana z wcześniej wspomnianą liczbą oznaczaną jako “l”. Jeśli l = 2, to liczba magnetyczna może przyjmować wyłącznie wartości od -2 do 2, dla l=1 będzie to -1 do 1 i podobnie dla pozostałych.

Następna z liczb opisuje tzw. “spin” i w przypadku elektronu może mieć tylko i wyłącznie wartość 1/2. Spin albo moment pędu wynika z ruchu ciała w przestrzeni; np. Ziemia kręci się wokół własnej osi i ma związany z tym moment pędu. Gdyby podobny ruch miał dotyczyć elektronu, to opisywałyby go wartości mocno przekraczające prędkość światła. Cząstki nie wirują fizycznie, bo jest to niemożliwe, jednak w jednym z eksperymentów, gdy przepuszczono strumień atomów srebra przez pole magnetyczne, rozdzielił się on na dwie wiązki, tak jakby atomy miały swój wewnętrzny moment pędu, który pozostaje mi wyjaśnić anegdotycznie: każdy kto w życiu przesadził z alkoholem, zna uczucie zwane “helikopter”. Spoczywasz z zamkniętymi oczami, jednak wirujesz w jakiejś abstrakcyjnej przestrzeni. Krótko mówiąc, cząstki nie wirują dosłownie, ale tak jakby wirowały wewnętrznie, a wartość takiego wirowania dla cząstki takiej jak elektron to 1/2.

Ostatnią z tych liczb jest magnetyczna liczba spinowa, która jest powiązana ze spinem cząstki i wyobraża niejako jego zwrot w przestrzeni. Przyjmuje wyłącznie wartość “w górę” lub “w dół”, a więc odpowiednio +1/2 i -1/2.

W atomie nie mogą występować dwie cząstki opisane tym samym zestawem liczb; muszą się różnić przynajmniej jedną. Weźmy dla przykładu najprostszy z orbitali, czyli s. Główna liczba to 1, poboczna wynosi 0, magnetyczna to również 0, a spin to 1/2. Łatwo więc zauważyć, że obydwa elektrony na tym orbitalu różnią się wyłącznie ostatnią z nich, czyli magnetyczną liczbą spinową: jeden z nich zwraca się spinem ku górze z wartością +1/2 a drugi w dół czyli -1/2. I dzieje się tak za każdym razem w każdym ze znanych pierwiastków. Poniżej przykład dla azotu.

W zapisie pominąłem spin, gdyż jest zawsze taki sam – 1/2. Pozostało właściwie odpowiedzieć na pytanie, dlaczego orbitale nazywają się s, p, d, a nie np. x, y, z? Te oznaczenia pochodzą jeszcze z XIX wieku, gdy obserwowano kolorowe linie pojawiające się w widmie podgrzanych gazów. Dziś wiemy, że są to fotony emitowane przez elektron skaczący z orbitalu na orbital. Zauważono, iż jedne z tych lini są silne (principal), inne ostre (sharp), a jeszcze inne rozmyte (diffuse). Mając już wiedzę o liczbach kwantowych, łatwo stwierdzić, dlaczego te linie mają różną szerokość, choć elektron jest zawsze ten sam. Na przykład linia silna dotyczy przeskoku z orbitalu p na s. I jest to dość jasne: elektron przebywający na orbitalu p musi mieć moment pędu 1, a gdyby chciał przeskoczyć na orbital s, który dopuszcza tylko elektrony o momencie pędu 0 to musi się gdzieś go pozbyć i właśnie tę wartość 1 unosi emitowany foton. 1 – 1 = 0 a więc wszystko się zgadza. Łatwo z tego również wywnioskować, że gdyby elektron chciał przeskoczyć z orbitalu 2s na 1s, to musiałby również taki foton wyemitować – ale co miałby on przenosić, jeśli na obydwu orbitalach moment pędu jest zerowy? Aby rachunek się zgadzał, elektron musiałby zmienić własny, wewnętrzny moment pędu, tj. spin o 1 czyli z +1/2 na -1/2 na co szanse są minimalne. Małe prawdopodobieństwo oznacza małą nieoznaczoność energii, a więc wąską (czytaj: ostrą) linię.

Nasuwa się pytanie, co właściwie sprawia, że na jednym poziomie nie mogą się znajdować cząstki o takich samych liczbach kwantowych. Odpowiedzią jest zakaz Pauliego, ale to już część kolejnej historii.

Eksperyment Myślowy

popularyzujemy naukę

Tag: zakaz Pauliego

Zakaz Pauliego!

O Równaniu Schrödingera i o tym, dlaczego atom “nie wygląda”