Pozostałe akty i wpisy na pokrewne tematy

Liczby nie całkiem urojone – historia w trzech aktach. Akt I: Początki
Liczby nie całkiem urojone – historia w trzech aktach. Akt II: Wchodzi Euler
Patrz też: Nielegalne operacje, czyli wiele hałasu o zero

Po opisanych w akcie II odkryciach Eulera stało się jasne, że nie tylko można, ale warto badać pozornie skomplikowane funkcje o argumentach urojonych i zespolonych. Czy na przykład wyrażenie cos ix ma sens, gdy x jest liczbą rzeczywistą? Owszem, ma. Co więcej, jak łatwo sprawdzić, podstawiając ix zamiast x w rozwinięciu funkcji cosinus w szereg Maclaurina, wartość cos ix jest rzeczywista!

• cos ix = 1 − (ix² ∕ 2!) +  (ix⁴ ∕ 4!) − (ix⁶ ∕ 6!) + … = 1 + (x² ∕ 2!) +  (x⁴ ∕ 4!) + (x⁶ ∕ 6!) + …

Mało, że otrzymujemy funkcję o wartościach rzeczywistych, to jest ona równa funkcji zwanej cosinusem hiperbolicznym: cosh x = ½ (e^x + e^−x). Nietrudno też dowieść, że cosh ix = cos x. Oznacza to możliwość przechodzenia w tę i z powrotem między światami funkcji trygonometrycznych a wykładniczych dzięki sekretnym tunelom przebitym przy użyciu liczb urojonych. Możliwość ta jest bardzo atrakcyjna, bo działania na funkcjach wykładniczych bywają o wiele łatwiejsze niż na trygonometrycznych. A kiedy raz już wpuścimy liczby zespolone do teorii funkcji i zaczniemy badać funkcje, których argumenty, współczynniki i wartości są liczbami zespolonymi, okazują się one tak użyteczne, że nie sposób się bez nich obyć. Zwykła analiza matematyczna staje się analizą zespoloną.

W roku 1799 duńsko-norweski matematyk Caspar Wessel zaproponował wyjątkowo użyteczny sposób wizualizacji liczb zespolonych. Na płaszczyźnie wykreślamy układ współrzędnych, w którym jedna oś reprezentuje część rzeczywistą, a druga część urojoną liczby zespolonej. Te dwie współrzędne określają punkt na płaszczyźnie, który utożsamiamy z liczbą zespoloną. Właściwie zamiast pisać z = x + iy moglibyśmy reprezentować liczbę zespoloną w postaci pary współrzędnych: z = [x, y]. Jest jeszcze inny sposób określenia położenia punktu na płaszczyźnie: można podać jego odległość od środka układu współrzędnych, √(x² + y²) (jest to tak zwana wartość bezwzględna liczby zespolonej, zapisywana jako |z|) oraz kąt φ, jaki tworzy z osią X linia łącząca punkt [x, y] ze środkiem układu współrzędnych. Łatwo zauważyć, że sin φ = y ∕ |z|, a cos φ = x ∕ |z| (to wynika z geometrycznej interpretacji tych funkcji). A zatem:

• x = |z| cos φ, y = |z| sin φ,
• z = x + iy = |z| (cos φ + i sin φ) = |z| e^iφ  (patrz wzór Eulera).

Wartość bezwzględna wyrażenia cos φ + i sin φ wynosi zawsze 1, bo cos² φ + sin² φ = 1 dla każdego φ. Czyli wartość zespolona wyrażenia e^iφ (liczba e podniesiona do dowolnej potęgi urojonej) przedstawiona na płaszczyźnie zespolonej zawsze leży na okręgu o promieniu 1, którego środkiem jest punkt przecięcia się osi współrzędnych. Podnieść e do potęgi urojonej iφ to to samo, co wykonać wzdłuż tego okręgu obrót o kąt φ wokół środka układu, startując od osi X i poruszając się odwrotnie do ruchu wskazówek zegara.

Kiedy mnożymy przez siebie dwie liczby zespolone, możemy uzyskać wynik, mnożąc przez siebie ich wartości bezwzględne i dodając odpowiadające im kąty. Jeśli obie wartości bezwzględne wynoszą 1, to mnożenie polega tylko na składaniu obrotów (dodawaniu kątów). Jeśli liczba z₁ jest wyrażona wzorem cos φ₁ + i sin φ₁, a liczba z₂ wzorem cos φ₂ + i sin φ₂, to ich iloczyn z₁z₂ jest równy cos (φ₁ + φ₂) + i sin (φ₁ + φ₂). Podniesienie jakiejkolwiek liczby postaci e^iφ do potęgi k oznacza pomnożenie jej przez samą siebie k razy, czyli wykonanie k obrotów o kąt φ (albo, co na jedno wychodzi, jednego obrotu o kąt kφ) po okręgu jednostkowym. W taki to sposób możemy przekształcenia geometryczne (obroty) zakodować za pomocą prostych działań wykonywanych na liczbach.

Stąd niedaleko do spostrzeżenia, że np. wszystkie rozwiązania zespolone równania zⁿ = 1 (tak zwane „pierwiastki z jedynki”) rozłożone są na okręgu o promieniu 1 jako wierzchołki n-kąta foremnego. Jest ich n, a jedno z nich jest równe 1. Opisuje je równanie z_k = e^{2πi (k ∕ n)}, gdzie k = 0, 1, …, n − 1. Na przykład pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki są liczby 1, i, −1, −i, tworzące wierzchołki kwadratu. Każda z nich podniesiona do potęgi czwartej daje w wyniku 1, a dwie z nich są rzeczywiste. Pierwiastkami trzeciego stopnia z jedynki są liczby 1, −½ + i (√3) ∕ 2 oraz −½ − i (√3) ∕ 2, tworzące wierzchołki trójkąta równobocznego. Tylko pierwsza z nich jest rzeczywista, ale wszystkie spełniają równanie z³ = 1.

Jest to bardzo szczególny przypadek tzw. podstawowego twierdzenia algebry, które mówi, że każdy wielomian n-tego stopnia o współczynnikach zespolonych ma n pierwiastków (z których niektóre mogą być sobie równe, czyli tworzyć łącznie pierwiastek wielokrotny). Sformułujmy to inaczej: każdy taki wielomian można przedstawić w postaci c(z − z₁)(z − z₂) … (z − z_n), gdzie liczby c, z₁, z₂, …, z_n są zespolone. Jednym z ojców tego twierdzenia był „książę matematyków” Carl Friedrich Gauss (1777–1855), który w roku 1799 poświęcił jego udowodnieniu swoją pracę doktorską. W świecie liczb zespolonych nie ma zatem nierozwiązywalnych równań wielomianowych (czyli wielomianów nieposiadających ani jednego pierwiastka), podczas gdy w dziedzinie rzeczywistej często się to zdarza.

Ten fakt okazuje się ważny w teorii równań różniczkowych n-tego stopnia, które rozwiązuje się za pomocą tzw. wielomanów charakterystycznych (także n-tego stopnia). W zależności od tego, czy pierwiastki wielomianu charakterystycznego są rzeczywiste, urojone czy zespolone, jednokrotne czy wielokrotne, w rozwiązaniu równania pojawiają się kombinacje liniowe funkcji wykładniczych o podstawie ujemnej lub dodatniej, sinusów, cosinusów, iloczynów funkcji wykładniczej z kombinacjami sinusów i cosinusów, a także iloczynów potęg x^k z którąkolwiek z wymienionych funkcji. W zjawiskach naturalnych opisywanych przez typowe równania różniczkowe (gdzie zmienną jest np. czas) takie właśnie funkcje odgrywają dominującą rolę. Reprezentują one wykładniczy wzrost lub zanikanie jakiejś wielkości fizycznej, ruch falowy, oscylacje zwykłe, wzmacniane, tłumione itp.

Liczby zespolone, płaszczyzna zespolona i równanie Eulera zwykle widnieją gdzieś w tle, gdy mowa o równaniach falowych (umożliwiają bowiem operowanie liczbami, które wyrażają jednocześnie amplitudę i fazę), grupach obrotów, drganiach lub sygnałach okresowych. Mają zastosowanie w teorii obwodów elektrycznych prądu zmiennego (impedancja zespolona pozwala w jednolity sposób traktować rezystancję opornika, pojemność kondensatora i indukcyjność cewki, co znakomicie ułatwia obliczenia), w elektrodynamice, elektronice, teorii sterowania, akustyce, informatyce, a zwłaszcza w fizyce kwantowej: zachowanie układów kwantowych opisywane jest przez wartości funkcji falowej dla danych wielkości, czyli tak zwane amplitudy prawdopodobieństwa, będące z natury, a nie na mocy konwencji ułatwiających rachunki, liczbami zespolonymi. W tym przypadku liczby zespolone wprowadzamy nie dla wygody, ale z konieczności.

Carl Friedrich Gauss, jeden z uczonych, którzy przyczynili się do rozwoju analizy zespolonej (płaszczyzna zespolona bywa nazywana płaszczyzną Gaussa, choć to nie on ją wymyślił), początkowo z pewnym oporem wewnętrznym podchodził do używania liczb zespolonych w dowodach matematycznych. Zwlekał nawet z publikacją niektórych własnych prac na ten temat, obawiał się bowiem, że przypięta przez Kartezjusza łatka „urojona” może przeszkadzać w akceptacji wyników. W roku 1831 zauważył z goryczą, że nie należało przyjmować dla żadnej kategorii liczb określeń, które wywołują skojarzenia negatywne. Na płaszczyźnie zespolonej oś, na której leży i, jest prostopadła do osi liczb rzeczywistych. Gdyby wobec tego mówić np. o „jednostce bocznej” (laterale Einheit), zamiast o „jednostce urojonej” (imaginäre Einheit), to nikt by się nie krzywił na jej używanie. Niestety rozsądne propozycje terminologiczne Gaussa nie przyjęły się i na liczbach urojonych dotąd ciąży klątwa Kartezjusza.

Nie zmienia to faktu, że liczby zespolone są ciekawymi obiektami matematycznymi, jedną z fundamentalych kategorii matematyki współczesnej, a w wielu zastosowaniach bardzo ułatwiają opis matematyczny rzeczywistego świata. Bywają wręcz niezastąpione, bo nie wydaje się, żeby można je było wyeliminować np. z równania Schrödingera. Dlatego chyba lepiej się pogodzić z tym, że żyjemy w świecie zespolonym, i spróbować zrozumieć, co to właściwie oznacza.