Pozostałe akty i wpisy na pokrewne tematy

Liczby nie całkiem urojone – historia w trzech aktach. Akt I: Początki
Liczby nie całkiem urojone – historia w trzech aktach. Akt III: Świat zespolony
Patrz też: Nielegalne operacje, czyli wiele hałasu o zero

Zanim na scenę wkroczył Leonhard Euler (1707–1783), kilku innych matematyków przygotowało potrzebne rekwizyty. Pod koniec XVII w. zaczęto eksperymentować z przybliżaniem funkcji rzeczywistych za pomocą wielomianów, których kolejne wyrazy zależały od wartości kolejnych pochodnych funkcji w jakimś wybranym punkcie x₀.* Zaczynamy od pochodnej „zerowej”, czyli samej funkcji, o której mowa, następnie uwzględniamy jej pierwszą pochodną, potem drugą pochodną (czyli pochodną pochodnej) itd. Ogólnie k-ty wyraz wielomianu dla funkcji f(x) ma dość prostą postać f^(k)(x − x₀)^k ∕ k!, gdzie f^(k) jest k-tą pochodną funkcji f.** Dziś nazywamy to rozwijaniem funkcji w szereg potęgowy Taylora (lub Maclaurina, jeśli wybranym punktem jest x₀ = 0), jednak ani Brooka Taylora, ani Colina Maclaurina, których nazwiska uwieczniono w ten sposób, nie było jeszcze na świecie, gdy Isaac Newton znalazł kilka takich rozwinięć – między innymi dla funkcji trygonometrycznych sin x i cos x. Można je przedstawić w postaci następujących „sum nieskończonych” (zbieżnych do faktycznej wartości sin x lub cos x dla każdej liczby rzeczywistej, ponieważ reszta pozostająca po uwzględnieniu n początkowych wyrazów szeregu maleje do zera gdy n dąży do nieskończoności).***

• sin x = x − (x³ ∕ 3!) +  (x⁵ ∕ 5!) − (x⁷ ∕ 7!) + …
• cos x = 1 − (x² ∕ 2!) +  (x⁴ ∕ 4!) − (x⁶ ∕ 6!) + …

Rozwinięcia funkcji sinus i cosinus wyglądają nieskomplikowanie z następującego powodu: pochodną sin x jest cos x, pochodną cos x jest −sin x, pochodną −sin x jest −cos x, a pochodną −cos x jest sin x. Tutaj kółko się zamyka i kolejne pochodne kręcą się w tym samym cyklu. Łatwo sprawdzić że dla x₀ = 0 wartości kolejnych pochodnych sin x (poczynając od zerowej) tworzą ciąg okresowy (0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, 1, …); podobnie jest z wartościami kolejnych pochodnych cosinusa: (1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, …). Dlatego w rozwinięciu sin x w szereg Maclaurina nie występują wyrazy zawierające potęgi parzyste zmiennej x (znikają one po pomnożeniu przez 0), a wyrazy zawierające potęgi nieparzyste pojawiają się naprzemiennie ze znakami plus i minus. Podobnie wygląda rozwinięcie cos x, z tą różnicą, że tutaj występują wyłącznie potęgi parzyste, a nieparzyste znikają jako równe zeru.

Metoda, za której pomocą Newton otrzymał powyższe rozwinięcia (oraz kilka innych), była dość żmudna. Ponieważ matematycy brytyjscy intensywnie korespondowali między sobą, o wynikach Newtona dowiedział się w 1670 r. James Gregory, profesor Uniwersytetu w St Andrews w Szkocji, z listu swojego angielskiego kolegi Johna Collinsa. Gregory dla własnej prywatnej satysfakcji opracował ogólną metodę przedstawiania funkcji za pomocą szeregów tego typu, ale nie opublikował jej, był bowiem przekonany, że jest ona już znana Newtonowi. Sam Newton później także zbliżył się do sformułowania ogólnej teorii funkcji rozwijalnych w szeregi potęgowe, ale pozostawił ją w końcu niekompletną i nieopublikowaną. Dlatego zasługa przedstawienia jej światu przypadła w roku 1715 Brookowi Taylorowi.

Leonhard Euler, obywatel Szwajcarii, miał osiem lat, gdy metoda Taylora ujrzała światło dzienne, ale już pięć lat później podjął studia na Uniwersytecie w Bazylei, jednocześnie pobierając lekcje matematyki u Johanna Bernoulliego. Bernoulli cieszył się zasłużoną reputacją największego matematyka szwajcarskiego. Dzielił ją wcześniej ze swoim bratem Jacobem, który zmarł w 1705 r. Euler przerósł swojego mistrza. W 1726 r. jako dziewiętnastolatek zdobył stopień doktora i rozpoczął zawrotną karierę, stając się jednym z najpłodniejszych naukowo uczonych wszech czasów i reformatorem matematyki. Sam zainicjował kilka jej działów, uporządkował notację formalną (czyli powszechnie zrozumiały, uniwersalny język matematyki); sformalizował też wiele użytecznych pojęć, jak choćby funkcje i sposób ich oznaczania. Jeśli dziś piszemy f(x), to używamy zapisu Eulera.

Do ulubionych funkcji Eulera należała f(x) = e^x, czyli odkryta przez niego samego funkcja eksponencjalna (szczególny przypadek funkcji potęgowej). Jest to w rzeczy samej, między nami mówiąc, jedna z najważniejszych funkcji w całym królestwie matematyki, a także wszelkich nauk, którym matematyka dostarcza narzędzi. Jej podstawę, liczbę niewymierną e = 2,7182818…, odkrył w zasadzie Jacob Bernoulli, ale to Euler zbadał gruntownie jej właściwości; on też oznaczył ją literą e, dlatego przylgnęła do niej nazwa „stałej Eulera”.

Funkcja e^x ma tę interesującą właściwość, że jest w każdym punkcie swoją własną pochodną, a zatem wartości wszystkich jej pochodnych (zerowej, pierwszej, drugiej, trzeciej itd.) w punkcie x₀ = 0 wynoszą tyle samo: e⁰ = 1. Z tej przyczyny jej rozwinięcie w szereg Maclaurina jest jeszcze prostsze niż w przypadku funkcji trygonometrycznych:

• e^x = (x⁰ ∕ 0!) + (x¹ ∕ 1!) +  (x² ∕ 2!) + (x³ ∕ 3!) + (x⁴ ∕ 4!) + …

albo jeszcze prościej:

• e^x = 1 + x + (x² ∕ 2!) + (x³ ∕ 3!) + (x⁴ ∕ 4!) + …

Warto dodać, że jest to rozwinięcie zbieżne dla wszystkich liczb rzeczywistych. Dla niedużych x jest szybko zbieżne, czyli daje bardzo dobre przybliżenie poszukiwanej wartości już po uwzględnieniu stosunkowo niewielkiej liczby składników sumy niekończonej. Sama liczba e jest oczywiście wartością e^x dla x = 1, toteż można ją wyrazić w postaci następującej sumy:

• e = 1 + 1 + (1 ∕ 2!) + (1 ∕ 3!) + (1 ∕ 4!) + (1 ∕ 5!) + (1 ∕ 6!) + (1 ∕ 7!) + (1 ∕ 8!) + (1 ∕ 9!) + …

Uwzględniając tylko te dziesięć wyrazów szeregu otrzymujemy e ≈ 2,7182815 …; przybliżenie to różni się od dokładnej wartości liczby e dopiero na siódmym miejscu po przecinku.

Przyglądając się rozwinięciu funkcji eksponencjalnej i funkcji trygonometrycznych, Euler zwrócił uwagę, że występują w nich te same składniki postaci x^k ∕ k!, tyle że z różnymi znakami: w e^x występują same plusy, a w funkcjach sin x i cos x na zmianę plusy i minusy; ponadto zaś w rozwinięciach sinusa i cosinusa brak co drugiego składnika. Gdyby tak połączyć sinus z cosinusem i coś zrobić z tymi minusami, być może ujawniłby się jakiś ciekawy związek między funkcjami pochodzącymi pozornie z całkiem różnych parafii.

Zauważmy, że liczba i podnoszona do kolejnych potęg (zaczynając od zerowej) daje nam następujący ciąg wartości: (1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, …) i tak dalej w kółko. Występują tu na przemian liczby rzeczywiste i urojone, przy czym jedne i drugie na przemian przybierają przeciwne znaki. Ten schemat jest dziwnie znajomy: coś podobnego działo się przecież z sinusem i cosinusem rozwiniętymi w szeregi potęgowe! Może więc naprzemienność znaków da się wymusić przez wprowadzenie wartości urojonej do wykładnika funkcji? Co prawda nikt wcześniej nie próbował podnosić czegokolwiek do potęgi urojonej, ale mamy przecież elegancki wzór na e^x, który działa dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Czy zadziała także dla liczb urojonych postaci ix? Co szkodzi sprawdzić? A więc sprawdźmy:

• e^ix = 1 + ix + (i²x² ∕ 2!) + (i³x³ ∕ 3!) + (i⁴x⁴ ∕ 4!) + (i⁵x⁵ ∕ 5!) + (i⁶x⁶ ∕ 6!) + (i⁷x⁷ ∕ 7!) +…

czyli – pamiętając, jakie są kolejne potęgi i:

• e^ix = 1 + ix − (x² ∕ 2!) − i (x³ ∕ 3!) + (x⁴ ∕ 4!) + i (x⁵ ∕ 5!) − (x⁶ ∕ 6!) − i (x⁷ ∕ 7!) +…

Posegregujmy teraz osobno wyrazy rzeczywiste i urojone, rozbijając szereg na dwa podszeregi:

• e^ix = [1 − (x² ∕ 2!) + (x⁴ ∕ 4!) − (x⁶ ∕ 6!) + …] + i [1 − (x³ ∕ 3!) + (x⁵ ∕ 5!) − (x⁷ ∕ 7!) + …].

I cóż nam się wyłoniło w nawiasach kwadratowych? W pierwszym z nich widzimy jak na dłoni rozwinięcie w szereg potęgowy funkcji cos x, a w drugim sin x. O każdym z tych rozwinięć wiemy, że zachowuje się przyzwoicie, czyli jest zbieżne dla każdej rzeczywistej wartości x. A skoro tak, to funkcja eksponencjalna ma dobrze określoną wartość zespoloną dla każdej liczby urojonej ix, a wartość ta wynosi…

• e^ix = cos x + i sin x  [wzór Eulera].

Stąd wynika także, że dla każdej liczby zespolonej postaci z = a + bi

• e^z = e^{a + bi} = e^a (cos b + i sin b).

Teraz nie tylko potrafimy podnosić liczby rzeczywiste do potęgi zespolonej, ale na dokładkę odkryliśmy (tzn. Euler odkrył w latach czterdziestych XVIII w.) głęboki związek między funkcjami wykładniczymi a trygonometrycznymi, w którym kluczową rolę odgrywają liczby zespolone. Funkcje cos x i sin x są ni mniej, ni więcej, tylko – odpowiednio – częścią rzeczywistą i częścią urojoną wartości zespolonej e^ix.

Wzór Eulera uchodzi słusznie za jeden z najbardziej satysfakcjonujących estetycznie wzorów matematyki. Mimo swojej pozornej abstrakcyjności jest niesłychanie przydatny także w fizyce i jej zastosowaniach inżynierskich, niekoniecznie bezpośrednio, ale poprzez liczne wynikające z niego konsekwencje. Wrażenie, jakie robi, można wzmocnić za pomocą następującej efektownej sztuczki magicznej. Niech x będzie równe π = 3,14159265… Jest to, jak pamiętamy, miara kąta półpełnego. Jak uczy trygonometria, cos π = −1, sin π = 0. Ze wzoru Eulera wynika więc natychmiast, że

• e^iπ = −1,

czyli

• e^iπ + 1 = 0  [tożsamość Eulera].

Występują w tej tożsamości dwie najważniejsze liczby całkowite, 0 i 1, jednostka urojona i, dwie najbardziej fundamentalne liczby niewymierne, e i π, trzy podstawowe działania (dodawanie, mnożenie i potęgowanie) oraz szczególnie ważna relacja matematyczna (równość), a wszystko to splecione w sposób tak zwięzły, zaskakujący i nieoczywisty, że wydaje się wręcz mistyczny. Jest to jednak prosta konsekwencja czegoś głębszego i ważniejszego, czyli ogólniejszego wzoru Eulera. To w nim są „zaszyte” tajemne związki między odległymi działami matematyki.

O tym, co wynikło z tych osiągnięć, i o tym, jak reprezentujemy liczby zespolone w sposób przystępny dla wyobraźni laika, opowie akt III.

Przypisy

*) Zakładam, że Czytelnik wie, co to jest pochodna, ale jeśli ktoś nie pamięta, tu można sobie odświeżyć wspomnienia ze szkoły: https://www.medianauka.pl/pochodna-funkcji.

**) Mam nadzieję, że wszyscy znają ze szkoły symbol silni: n! = 1 × 2 × 3 … × n; dodatkowo zakładamy, że 0! = 1, więc dla każdej dodatniej liczby całkowitej n! = (n − 1)! × n.

***) Pamiętajmy, że argument x nie jest tu wyrażony w stopniach, ale (jak przystało w poważnej matematyce) w jednostkach miary łukowej: przyjmujemy zatem, że miarą kąta prostego jest ½π, kąta półpełnego π, a pełnego 2π.