Porozmawiajmy o tym, na co właśnie patrzycie – o wyświetlaczu waszego monitora. Przyjmijmy dla uproszczenia rozważań, że każdy z nas posiada monitor tupu FULL HD o rozdzielczości 1920×1080 pikseli. Zapis tego typu oznacza że ekran składa się z 1920 pikseli w każdej z 1080 linii. I tu można by postawić sobie pytanie: dlaczego używamy jednostki, jaką jest “piksel”, a nie odpowiedniej podwielokrotności metra, jak na cywilizowanych ludzi posiadających układ SI przystało? Cóż, nie istnieje żaden powód, dla którego nie można by podawać pola powierzchni wyświetlacza w centymetrach kwadratowych, tylko po co? Przekątną ekranu podaje się w calach, ale dlatego, że ma to zastosowanie w pewnym kontekście – gdy zastanawiamy się, czy zmieści się w środowisku salonu. Centymetr nie jest w środowisku takiego wyświetlacza jednostką naturalną i nie można go zastosować uniwersalnie do wszystkich: przecież liczba pikseli na centymetr kwadratowy może się różnić w zależności od typu. Używamy pikseli, gdyż jest to najmniejsza jednostka mająca sens w takim środowisku. Nie oznacza to, że nie istnieją elementy mniejsze, jednak rozważanie ich nie ma sensu, gdyż dopiero efekt ich kolektywnego działania jest przez nas mierzalny. Piksel składa się z trzech mniejszych subpikseli, które zapalając się lub gasnąc, dają wrażenie odpowiedniej barwy jako całość.

fot. CC BY 2.5

Czy wobec tego nasz Wszechświat ma również takie jednostki naturalne? Takie “piksele”, które mają sens wartość granicznych, ekstremalnych? Jak się okazuje – tak, nasz Wszechświat ma takie fantastyczne jednostki i teraz zastanowimy się jak je znaleźć. Gdyby to był wyświetlacz, to pewnie szukalibyśmy tych pikseli na podstawie jego stałych cech, więc w poszukiwaniu tych jednostek warto również przeanalizować stałe fizyczne, na szczęście – nie wszystkie.

Stałe fizyczne obejmują np. masy cząstek elementarnych, ładunek elektryczny, parametry mieszania kwarków i neutrin etc. Te stałe do niczego nam się nie przydadzą. Potrzebne są nam stałe, które dotyczą w jak największy stopniu wszystkich elementów Wszechświata, stałe związane z jak najbardziej powszechnymi cechami obiektów.

Skoro w naszym Wszechświecie czymś wspólnym dla wszystkich obiektów jest to, że mają masę i/lub energię, to znaczenie ma tu stała opisująca oddziaływanie pomiędzy wszystkimi obiektami posiadającymi te cechy. Która to z nich? No, tu nie trzeba mechaniki kwantowej: najprostszym wzorem opisującym związek pomiędzy takimi obiektami jest wzór opisujący prawo powszechnego ciążenia, który jednak okazuje się niewystarczający do opisu sytuacji, gdy mowa o ekstremalnych wartościach pola grawitacyjnego lub obiektach poruszających się z ogromnymi prędkościami. Tam zastosowanie ma opis Einsteina. Zatem porównajmy te wzory w poszukiwaniu tej stałej:

Tym, co łączy obydwa wzory, jest wielkie G, pod którym, wbrew skojarzeniom, kryje się stała grawitacji. Jest to jasne – grawitacja jest tym, co łączy obiekty posiadające masę. Jej wartość wyznaczono eksperymentalnie za pomocą tzw. “wagi skręceń” już w XVIII wieku. O samej wadze i sposobie jej działania możecie przeczytać tu: Rekordy (niekoniecznie) Guinnessa [2]. Najprościej można tę stałą rozumieć jako związek pomiędzy siłą grawitacji a masą zakrzywiającą czasoprzestrzeń.

Kolejną niezwykle ważną cechą przestrzeni jest prędkość rozchodzenia się w niej fal elektromagnetycznych, czyli najwyższa prędkość, z jaką rozchodzą się informacje. Każdy intuicyjnie wie, że prędkość ta jest związana z oporem, jaki stawia dane środowisko, w tym przypadku próżnia. To spójrzmy na dwa wzory związane, wynikające z prawa Coulomba, które opisuje zachowanie obiektów posiadających ładunek elektryczny, oraz z uogólnionego przez Maxwella prawa Ampère’a dotyczącego powstającego pod jego wpływem pola magnetycznego.

Przepraszam za moje greckie pismo. Pod literami mu i epsilon kryją się wyznaczone eksperymentalnie stałe przenikalności elektrycznej i magnetycznej próżni. Z teorii Maxwella wiemy, że pole magnetyczne pojawia się w wyniku zmian w polu elektrycznym i na odwrót, a prędkość rozchodzenia się takich zmian w postaci fali zależy od przenikalności danego ośrodka, co da się opisać matematycznie w sposób, który jasno wskazuje nam, z jaką prędkością rozchodzi się fala elektromagnetyczna w próżni:

W zapisie stałych przenikalności pominąłem jednostki dla czytelności równania. Prędkość c jest stałą opisującą prędkość rozchodzenia się informacji oraz związek pomiędzy energią a masą.

Kolejną stałą jest stała Plancka (h) będąca kwantem działania, najmniejszą możliwą porcją energii, o którą może się zmienić stan układu, aby “coś się stało” – analogicznie do wyświetlacza, gdzie kwantem takiego działania jest zmiana barwy pojedynczego piksela. Obok niej umieszczę stałą, której możecie nie znać – stałą Boltzmanna (k_B). Jak wiecie, wszystko, co ma temperaturę wyższą od zera bezwzględnego (czyli wszystko), drży. Im ma wyższą temperaturę, tym bardziej drży, gdyż ma więcej energii. Stała Boltzmanna opisuje po prostu, o ile zmienia się energia takiego drżenia przy wzroście temperatury o jeden kelwin:

Teraz spójrzmy na stałe grawitacji, prędkości światła, Plancka i Boltzmanna na jednym obrazku i odpowiedzmy sobie na pytanie: co je łączy?

O ile wartości mają bardzo różne, to wymiary mają bardzo podobne, choć w różnych potęgach. Są to wymiary czasu, długości, masy itp. W ostatnim tekście pokazywałem wam, jak wyłącznie skracając jednostki we wzorach Einsteina, udowodnić, że obiekty bezmasowe mogą poruszać się wyłącznie z prędkością c niezależnie od tego, ile ona wynosi. W tym przypadku w podobny sposób możemy uzyskać jednostki długości, masy, czasu wyłącznie za pomocą kilku operacji matematycznych. Na cześć tego, który na to wpadł, naturalny układ jednostek nosi nazwę jednostek Plancka. Spróbujmy uzyskać długość Plancka ze stałych grawitacji, Plancka i prędkości światła:

Po podstawieniu do poniższego wzoru wartości wymienionych stałych otrzymamy długość 1,61623×10⁻³⁵ m. Do czego można porównać taką długość? Fale gamma mają przeciętnie długości od 10⁻¹³ do 10⁻¹¹ m. Dobrym opisem jest tu stwierdzenie, że długość Plancka to najmniejsza odległość, o którą można się przemieścić w naszym Wszechświecie tak, aby można było mówić o przebyciu jakiejkolwiek odległości, która ma sens fizyczny.

Podobne operacje można przeprowadzić również dla innych wartości, tak aby uzyskać masę Plancka, czas Plancka i inne:

Szczególnie ciekawa ze wszystkich jednostek Plancka jest masa, która wynosi 0,02 mg co można porównać do masy którą przeciętnie osiąga komar przed posiłkiem tj. 2,6 mg. Cóż takiego “ekstremalnego” jest w masie porównywalnej z masą niektórych owadów? Jest ona niezwykle duża w porównaniu do pozostałych, gdyż grawitacja jest niezwykle słaba, masa Plancka ściśnięta do rozmiaru objętości Plancka najprawdopodobniej zapadła by się tworząc czarną dziurę. Pokazuje to jak wiele masy potrzeba zgromadzić w niezwykle małej objętości aby grawitacja mogła ostatecznie zdominować scenę. Poniżej tabela zawierająca inne jednostki Plancka:

W początkowych akapitach tekstu pozwoliłem sobie określić te jednostki jako opisujące wartości graniczne, ekstremalne. Większość potęg jest ujemna, ale co w przypadku ciśnienia, gęstości i mocy? Aby zrozumieć, jak ekstremalną wartością jest gęstość Plancka, to przypomnę, że gęstość gwiazd neutronowych to ok. 1,0×10¹⁷kg/m³! Jedną z przyczyn, dla których teoria kwantowej grawitacji jest tak poszukiwaną teorią, jest to, że nasza dotychczasowa wiedza załamuje się w obliczu takich sytuacji – nie rozumiemy, co oznaczają takie gęstości na tak małych obszarach. Żadna z teorii nie potrafi powiedzieć, co by się stało, gdyby obiekt o masie Plancka ścisnąć do rozmiarów objętości Plancka. W naszych równaniach w takich sytuacjach pojawiają się osobliwości – obszary nieskończenie małe o nieskończenie dużych masach i gęstościach. O tym i innych problemach z kwantową grawitacją oraz o tym, dlaczego musimy opracować taką teorię – już kolejnym razem!

(c) by Lucas Bergowsky
Jeśli chcesz wykorzystać ten tekst lub jego fragmenty, skontaktuj się z autorem.