Enigma

Jerzy Różycki, Henryk Zygalski i Marian Rejewski. Trzej Muszkieterowie, którym udało się złamać maszynę szyfrującą Enigma. Celowo nie piszę o złamaniu szyfru, ponieważ Enigma korzystała ze zwykłego szyfru transpozycyjnego (podstawieniowego), w którym jedną literę zastępuje się inną literą.

Ryc. 1 Marian Rejewski, Henryk Zygalski, Jerzy Różycki. Domena publiczna.

Zastosowanie jednokrotnego podstawienia jest jednak bardzo łatwe do rozszyfrowania, wystarczy znajomość statystyki występowania poszczególnych liter i ogólnych reguł leksykalnych dla danego języka. Do wczesnych lat dwudziestych XX. wieku wszystkie armie świata wykorzystywały bardziej lub mniej skomplikowane szyfry podstawieniowe, kodowane i dekodowane ręcznie. Polski wywiad nie miał więc kłopotów z rozszyfrowywaniem niemieckiej i radzieckiej tajnej korespondencji. Do czasu wprowadzenia wynalezionej przez Arthura Scherbiusa elektromechanicznej maszyny szyfrującej o nazwie Enigma. Dlaczego więc Enigma była takim skokiem jakościowym i wyzwaniem? Dlatego, że jako pierwsza maszyna, szyfrowała depesze szyfrem polialfabetycznym, wykorzystując kaskady bębnów szyfrujących (transponujących), dodatkowo obracanych po każdej literze, a także innych elementów transponujących litery oraz różne ustawienia początkowe, co skutkowało prawie nieskończoną liczbą możliwych permutacji liter alfabetu. Szyfr Enigmy nie mógł też być poddany standardowej statystycznej analizie językowej gdyż, w odróżnieniu od zwykłego szyfru podstawieniowego, litera „A” mogła być zaszyfrowana jako „D” albo „S” albo jakakolwiek inna litera, w zależności od jej pozycji w szyfrowanym tekście.

Ryc. 2 Schemat okablowania Enigmy. Czerwona linia to ścieżka przepływu prądu po naciśnięciu litery “A”. Prąd przepływa z baterii (1) przez obwód mającego dwa styki klawisza z literą (2) do łącznicy kablowej (3). Łącznica umożliwiała zamianę dwóch liter miejscami, a jednocześnie zapewniała połączenie klawiatury (2) z bębnem wstępnym (Eintrittswalze) (4). Prąd przepływa przez łącznicę kablową (3) do bębna wstępnego (4), a następnie przez trzy (w przypadku zastosowania w wojskach lądowych) lub cztery albo pięć (w przypadku marynarki) bębny szyfrujące do bębna odwracającego (Umkehrwalze) (6). Bęben odwracający zawraca sygnał z powrotem przez bębny szyfrujące (5), ale inną drogą, do bębna wstępnego (4), następnie doprowadzając go do gniazda ‘S’ łącznicy (7), a stamtąd przewodem (8) (Steckerverbindung) do gniazda ‘D’ i dwustykowego klawisza (9), powodując zaświecenie lampki.
Licencja CC BY-SA 3.0

Ponieważ dotychczasowe, lingwistyczne metody pracy Biura Szyfrów wobec Enigmy okazały się nieskuteczne, postawiono na matematyków. Zorganizowano kurs kryptologiczny dla wyróżniających się studentów matematyki Uniwersytetu Poznańskiego, wybrano kilku najlepszych, których zatrudniono w Biurze Szyfrów mieszczącym się w podziemiach Komendy Miasta przy ul. św. Marcin. Znaleźli się wśród nich nasi Muszkieterowie. Przy wyborze takiej, a nie innej lokalizacji nie bez znaczenia była doskonała znajomość niemieckiego i niemieckich nawyków językowych u poznańskich matematyków, co pozwoliło w przyszłości Rejewskiemu błyskotliwie przewidywać zachowanie niemieckich szyfrantów i kilka razy pójść na skróty, „odgadując wynik”. Przez trzy lata szkolono matematyków na kryptologów, zanim zostali wtajemniczeni, na czym będzie polegało ich zadanie. Marian Rejewski, będąc wciąż bardziej matematykiem niż kryptologiem, podszedł do problemu niestandardowo, czyli matematycznie. Zamiast szyfru, zaczął rozpracowywać maszynę. Wykorzystując posiadaną wiedzę matematyczną zapisał wszystko, co wiedział, w postaci równań, w których zamiast zmiennych znalazły się permutacje. Luki w teorii uzupełnił własnymi pomysłami. W ciągu kilku miesięcy, pod koniec 1933 roku, stworzył model matematyczny urządzenia, którego nie widział na oczy. Wtedy też odkodowano pierwszy niemiecki szyfrogram. Podejście Rejewskiego było rewolucyjne, gdyż do tej pory szyfry łamano metodami lingwistycznymi, poszukując reguł językowych, których proces szyfrowania nie zatarł. Wieloetapowe szyfrowanie oraz obracanie bębnów po każdym znaku powodowało jednak, że zaszyfrowany ciąg liter nie posiadał żadnych cech języka źródłowego, a analiza statystyczna nie wykazywała żadnych prawidłowości. Można powiedzieć, że maszynowe szyfrowanie Enigmą dawało na wyjściu losowy ciąg znaków. W rzeczy samej Marian Rejewski był pionierem kryptologii jako gałęzi matematyki stosowanej.

O sukcesie polskiego zespołu zadecydował, oprócz niewątpliwego profesjonalizmu, łut szczęścia. Ale wiadomo, audaces fortuna iuvat, szczęście sprzyja zuchwałym (niektórzy mówią, że śmiałym).

Pierwszym szczęśliwym zbiegiem okoliczności był fakt, że wojskowa maszyna szyfrująca Enigma miała swój mniej skomplikowany odpowiednik komercyjny, wykorzystywany przez niemieckie firmy do szyfrowania wrażliwej korespondencji handlowej. Przechwycenie tej maszyny w 1928 umożliwiło zbudowanie jej dokładniej repliki.

Drugim szczęśliwym przypadkiem było przekazanie w 1931 przez wywiad francuski dwóch niezwykle ważnych dokumentów. Pierwszym z nich była instrukcja obsługi maszyny szyfrującej, drugi zawierał klucze dzienne na październik i grudzień 1931 roku. Ciekawe, że ani wywiad francuski, ani angielski, posiadając przecież te dokumenty, nie zdołały Enigmy „rozgryźć”.
W ciągu kilku miesięcy zespół mgr Rejewskiego odtworzył połączenia wewnętrzne Enigmy i opracował jej „model matematyczny”. Na jego podstawie został skonstruowany „sobowtór” Enigmy, zresztą znacznie lepszy i wydajniejszy niż niemiecki oryginał. Praca ta została wykonana w Warszawskiej Wytwórni Radiotechnicznej AVA. Razem zbudowano 15 takich zrekonstruowanych maszyn Enigma”
[dr inż. Tadeusz Lisicki, kierownik Oddziału Radiotechniki Wojskowej „Historia i metody rozwiązania niemieckiego szyfru maszynowego „ENIGMA”][1]

Trzecim szczęśliwym przypadkiem była praktyka dwukrotnego szyfrowania klucza depeszy przez Niemców, w dodatku nie za pomocą Enigmy ale za pomocą zewnętrznego kodowania. Było to nieocenioną wskazówką przy wyszukiwaniu prawidłowości rządzących Enigmą.

Ryc. 3 Maszyna szyfrująca Enigma. Muzeum Techniki w Warszawie. Licencja CC BY-SA 3.0

Do opracowania metod deszyfracji Enigmy wykorzystano zaawansowane narzędzia matematyczne z dziedziny kombinatoryki (teoria cykli i transpozycji). Oryginalnymi wynalazkami Rejewskiego był tak zwany cyklometr do określania cykli bębnów szyfrujących oraz karty charakterystyk. Pozwalały one na ustalenie kodu dziennego w ciągu 15-20 minut. Niestety, kolejne udoskonalenie Enigmy we wrześniu 1938 spowodowało, że karty charakterystyk stały się bezużyteczne. W październiku 1938 roku Rejewski opracował urządzenie do automatycznego łamania Enigmy nazwane bombą kryptologiczną. Ową bombę skonstruowała firma AVA z sześciu sprzężonych replik Enigmy i była one używana do dekodowania podwójnie szyfrowanych kluczy dziennych. Kolejnym wynalazkiem polskich kryptologów były tzw. płachty Zygalskiego.

Ryc. 4 Klucze dzienne z oryginalnej książki kodów. Znaczenie poszczególnych kolumn: numer dnia miesiąca, kolejność bębnów, ustawienie pierścieni na bębnach, połączenia na łącznicy wtyczkowej, ustawienia podstawowe bębnów w okienkach
Źródło: The Late Tony Sale’s Codes and Ciphers Website (Tony Sale 2001).

Pierwszą depeszę Enigmy Marian Rejewski odczytał w grudniu 1932 a od stycznia 1938 odczytywano 75% niemieckich depesz.

Niestety, na tym kończy się szczęśliwy rozwój wypadków. Niemcy co rusz modernizowali Enigmę, dodawali nowe elementy, rozszerzali repertuar używanych bębnów, coraz bardziej komplikując proces szyfrowania. Polski zespół deszyfrujący nadążał za tymi zmianami do 1938 roku. W 1939 Niemcy po raz kolejny zmodernizowali Enigmę, co wymusiło konieczność skonstruowania kilkudziesięciu dodatkowych bomb kryptograficznych oraz niesamowicie kosztownych płacht Zygalskiego, a to już przekraczało możliwości finansowe i organizacyjne Biura Szyfrów. W obliczu zbliżającej się wojny i palącej konieczności efektywnej deszyfracji niemieckich depesz zdecydowano się na podzielenie się wynikami prac ze służbami innych państw.

Ograniczony budżet Biura Szyfrów i mała liczba personelu zmusiła Polaków do przekazania wyników swojej pracy sojusznikom, Francuzom i Anglikom. Nie tak to miało wyglądać. Początkowo Biuro Szyfrów miało przekazać wyniki swojej pracy na warunkach partnerskich, na zasadzie równorzędnej wymiany doświadczeń. Niestety okazało się, że Francuzi i Anglicy mimo posiadania tej samej wiedzy nie mogli się niczym pochwalić. Na spotkaniu w Pyrach, w lipcu 1939 do rozmów dołączył wiceszef brytyjskiego wywiadu pułkownik Stewart Menzies. Można sobie wyobrazić zdumienie Francuzów i Anglików kiedy otrzymali kompletne i działające metody deszyfracji ustawień początkowych i kluczy oraz po jednym egzemplarzu repliki wojskowej wersji Enigmy, wyprodukowanej przez wytwórnię „AVA”. Komandor Dillwyn Knox, uczestnik rozmów, w raporcie napisał bezczelnie, że „Polacy mieli szczęście” oraz że „przypadkowo rozwiązali zagadkę”. Tak zachowanie Knoxa relacjonuje kryptolog Alastair Denniston, który uczestniczył w spotkaniu:
Nagle stracił panowanie nad sobą i – zakładając, że nikt nie zna angielskiego – zaczął się pieklić, że [Polacy] nas okłamali, tak samo jak w Paryżu. Cały czas powtarzał, że to szalbierstwo. Nie złamali Enigmy. Zwędzili rozwiązanie lata temu i bazowali na tym jak każdy, ale musieli to kupić albo zwędzić.”[3]
Tak zakończyła się samodzielna praca polskich kryptologów nad rozpracowaniem Enigmy.

Po wybuchu wojny zespół kryptologów z B-S-4 (Radiowywiad i szyfry „Zachód”) ewakuował się do Rumunii, a następnie do Francji. Niestety Francuzi nie pozwolili na powstanie równoprawnego polsko-francusko-angielskiego zespołu . Powstał francuski ośrodek kryptologiczny nazwany „Zespołem Z” zlokalizowany 35 km od Paryża, w willi Chateau de Vignolles w Gretz-Armainvilliers. Polscy kryptolodzy w liczbie piętnastu, w tym nasi Muszkieterowie, zostali „wypożyczeni” Francuzom. Zespół dysponował całym polskim dorobkiem, w tym replikami Enigmy. Pracę rozpoczęto w październiku 1939 a już w styczniu 1940 złamano pierwszy klucz dzienny Wehrmachtu. Ośrodek był często odwiedzany przez Alana Turinga, który organizował ośrodek w Bletchley Park, ale to już zupełnie inna historia.

Do czerwca 1940 odczytano ponad osiem tysięcy zaszyfrowanych depesz Enigmy. Po upadku Francji ośrodek został zlikwidowany, a prace nad Enigmą przejęli Brytyjczycy. Na nieokupowanym terytorium Francji działał jeszcze ośrodek w Chateau des Fouzes w Uzes niedaleko Nantes, o kryptonimie Cadix. Ekipa polskich kryptologów pracowała w nim rotacyjnie, dojeżdżając z Algierii i dzieląc się wynikami pracy z Anglikami z Bletchley Park.

Liczba kombinacji szyfrowania Enigmy wynosiła 3*10114, czyli o wiele rzędów wielkości więcej, niż jest atomów we Wszechświecie.

Niemiecka Kriegsmarine używała innej, bardziej skomplikowanej wersji Enigmy z większą liczbą bębnów, której polskim Muszkieterom nigdy nie udało się złamać.

Niemcy nie ułatwiali pracy kryptologom. W latach 20., kiedy Polacy odczytywali pierwsze depesze Enigmy, klucz zmieniał się raz w miesiącu. Z biegiem czasu poszczególne jego elementy zmieniały się co tydzień, później codziennie, a następnie, w czasie II wojny światowej, nawet kilka razy w ciągu doby. Właśnie to spowodowało, że w 1939 Sztab Główny podjął decyzję bez bez precedensu w dziejach wywiadu: przekazał aliantom bez warunków wstępnych swój najpilniej strzeżony sekret.

Z wyprodukowanych kilkudziesięciu tysięcy egzemplarzy Enigmy, do czasów współczesnych dotrwało zaledwie kilkadziesiąt. Pozostałe zostały celowo zniszczone, ukryte lub porzucone. Te egzemplarze, o których wiemy, osiągają na aukcjach ceny sięgające 100 tysięcy dolarów.

Źródła:
1. https://elitadywersji.org/tag/biuro-szyfrow/#02
2. https://wielkahistoria.pl/zlamanie-kodu-enigmy-jak-polskiemu-wywiadowi-udalo-sie-rozpracowac-niemiecka-maszyne-szyfrujaca/
3. https://wielkahistoria.pl/reakcje-na-zlamanie-kodu-enigmy-przez-polakow-brytyjski-ekspert-oskarzyl-nas-o-kradziez-i-oszustwo/
4. https://wielkahistoria.pl/zlamanie-kodu-enigmy-jak-polskiemu-wywiadowi-udalo-sie-rozpracowac-niemiecka-maszyne-szyfrujaca/
5. https://elitadywersji.org/tag/biuro-szyfrow/
6. https://fpg24.pl/pogromca-enigmy-byl-polakiem/
7. https://ciekawostkihistoryczne.pl/2022/12/25/enigma-i-tajemnica-zlamania-szyfru/
8. https://wielkahistoria.pl/reakcje-na-zlamanie-kodu-enigmy-przez-polakow-brytyjski-ekspert-oskarzyl-nas-o-kradziez-i-oszustwo/

Diagramy Feynmana i Model Standardowy

Gdybym zapytał o to, co opisuje teoria powszechnego ciążenia sformułowana przez Newtona, to zapewne odpowiedzielibyście intuicyjnie, że jest to teoria opisująca oddziaływania pomiędzy masywnymi obiektami (choć zapewne ciut innymi słowami). I jest to prawda – znany wszystkim wzór opisuje właśnie wzajemne przyciąganie takich ciał:

fot. CC BY 3.0

Warto wobec tego zapytać, czy mamy teorię, która opisuje oddziaływania pomiędzy obiektami w naszym Wszechświecie w jak największej ogólności. Teorii Wszystkiego nadal nie mamy i nadal jej szukamy, ale mamy inną teorię, która opisuje materię na najniższym ze znanych nam poziomów i oddziaływania pomiędzy cząstkami ją budującymi a tymi, które oddziaływania przenoszą, i nie tylko. Teorią tą jest oczywiście Model Standardowy:

fot. CC BY 3.0

Ten obrazek sporo mówi o graczach, ale bardzo niewiele o grze, w której biorą udział. Przypominam po raz kolejny: nie ma żadnych „cząstek”, ale są wzbudzenia pól kwantowych. Elektron nie jest cząstką w formie kulki, ale efektem pobudzenia pola kwantowego energią 0,511 MeV. Stąd polecam myśleć o cząstkach nie jak o maleńkich kuleczkach, ale jak o maleńkich falach. Każdy typ cząstki jest wzbudzeniem pola kwantowego o odpowiednich cechach: pole fotonowe różni się od pola neutrina elektronowego itp. Matematyka, która stoi za tym niewinnym obrazkiem to ten potwór:

O ile wzór opisujący wzajemne przyciąganie obiektów da się wytłumaczyć na skrawku papieru, o tyle tu warto by mieć kilka lat i kilka grubszych zeszytów, aby opisać każdy z elementów, które tu widzimy, oraz ich wzajemne powiązania. Nie jest to praca jednego człowieka, ale setek naukowców na przestrzeni wielu lat. Jako że chciałbym to wyjaśnić w formie „do kawy”, to skorzystamy z barbarzyńsko skróconej wersji „tego czegoś” i pokażemy sobie, jak można to zobrazować za pomocą bardzo intuicyjnych diagramów.

Tak więc od początku: „to coś” to jest lagranżjan. Jeśli to słowo nic nie wyjaśnia, to spokojnie – automatyczna korekta również podkreśla je na czerwono. Bez wchodzenia w matematykę, jest to suma energii zawartych w tym modelu. Dlaczego nie mas i energii? Bo E=mc2 :). Prostsza, barbarzyńska wersja wygląda tak:

Jeśli to dalej wygląda niezrozumiale, to absolutnie mnie to nie dziwi: jak ktoś mądrze zauważył, do mechaniki kwantowej wystarczy znać trzy liczby i cztery alfabety. Więc spójrzmy sobie na ten zapis wiersz po wierszu.

Pierwszy z nich opisuje to, jak bozony, a więc wzbudzenia odpowiednich pól, oddziałują z sobą:

Powtarzające się w każdym z członów greckie litery μ (mi) i ν (ni) reprezentują trzy wymiary przestrzenne i jeden czasowy. Pierwszy człon opisuje pole związane z fotonem, czyli nośnikiem oddziaływań elektromagnetycznych. Jest tylko jeden rodzaj wzbudzenia takiego pola, którym jest foton, nie przenoszący ładunku elektrycznego, co oznacza, że fotony nie reagują same z sobą w tym zakresie. Kolejny człon opisuje pola związane z oddziaływaniem słabym i przenoszące je wuony, mogące mieć dodatni lub ujemny ładunek elektryczny, oraz neutralny zeton. Ostatni reprezentuje wzbudzenia pola sił kolorowych, czyli gluony. Istnieją po trzy kolory i antykolory; każdy z gluonów ma podwójny ładunek kolor-antykolor, co daje nam osiem różnych rodzajów gluonów, które oddziałują również same z sobą.

Matematykę związaną z tymi interakcjami można zapisać przy pomocy diagramów Feynmana w następujące sposoby:

Kolejna część tego zapisu opisuje interakcje pomiędzy polami fermionowymi a polami bozonów, czyli po polsku – są to opisy oddziaływań pomiędzy materią a siłami takimi jak elektromagnetyzm, oddziaływania silne i słabe:

Suma kwarków reprezentuje wszystkie sześć rodzajów: górny, dolny, dziwny, powabny, prawdziwy i piękny. Ponieważ istnieje antymateria, która również oddziałuje z siłami, mamy q i q „z kreską”, jednostka urojona i zaś to takie matematyczne narzędzie, które pozwala korzystać z większego zakresu wartości niż tylko liczby rzeczywiste. Urojona – bo trzeba sobie uroić, że takie wartości istnieją: wolno z nich korzystać w równaniach tak długo, jak długo nie pojawiają się w wynikach, bo to oznacza że nie mają one fizycznego sensu. Więcej o tych tworach i ich zastosowaniu w tekście Piotra Gąsiorowskiego Liczby nie całkiem urojone – historia w trzech aktach. Akt I: Początki i kolejnych częściach tego cyklu.

Kolejne dwa wersy to opis interakcji leptonów, a więc elektronu, mionu, taonu i odpowiadających im neutrin z poszczególnymi siłami. Zapis ten nie różni się znacząco od zapisu takich interakcji w przypadku kwarków, choć na pierwszy rzut oka widać, że jest tak jakby zdublowany, choć leptonów i antyleptonów jest – tak jak kwarków i antykwarków – łącznie dwanaście. Rozwiązaniem są litery L i R przy greckiej literze psi (ψ). Litery te oznaczają cechę cząstki, jaką jest jej „skrętność”. Cząstka jest prawoskrętna, jeśli jej spin jest zgodny z kierunkiem jej ruchu, a lewoskrętna, jeśli spin jest ułożony w kierunku przeciwnym. Należy to rozróżnić, gdyż pośród leptonów tylko elektron, mion i taon mogą być prawo lub lewoskrętne, podczas gdy prawoskrętnych neutrin nigdy nie zaobserwowano, a interakcje leptonów R i L z siłami nie są dokładnie takie same. Matematyka powyżej jest przedstawiana przy pomocy takich diagramów:

Gluony oddziałują z kwarkami, a neutrina z bozonami W i Z. Wszystkie fermiony poza neutrinami oddziałują elektromagnetycznie. Kolejna część tego zapisu dotyczy pola Higgsa, a dokładnie interakcji bozonów cechowania i interakcji pola Higgsa z samym sobą:

Jakie to ma znaczenie dla naszego Wszechświata? Jak pamiętacie z tekstu O polach które łączą – nie tylko ludzi, pole Higgsa ma niezerowy potencjał i z powodu interakcji z nim bozony W i Z stają się masywne. Niezerowy potencjał pola Higgsa sprawia, że jego bozon jest również cząstką masywną – i to całkiem, bo waży ok. 125 GeV, co wyróżnia się na tle rzędy wielkości lżejszych kwarków i leptonów czy bezmasowych fotonów i gluonów. Więcej o naturze tego oddziaływania w kolejnym tekście, w którym wyjaśnimy również znaczenie prawo- i lewoskrętności leptonów dla tego pola. Tymczasem interakcje te na diagramach Feynmana wyglądają tak:

Kolejną częścią jest zapis opisujący interakcje pomiędzy polami fermionowymi a polem Higgsa, czyli zapis tego, w jaki sposób materia zyskuje swoją masę spoczynkową:

Znów mamy L i R dla cząstek lewo i prawoskrętnych oraz grecką literę ϕ (phi) dla pola Higgsa. Y, czyli współczynnik Yukawy, opisuje „jak mocno” pola oddziałują z polem Higgsa. Im mocniejszy charakter tego oddziaływania, tym większa masa spoczynkowa cząstki. Znajdujący się na końcu „h.c” to taki matematyczny zapis, który w tym przypadku reprezentuje te same interakcje pomiędzy polami, ale w przypadku antymaterii, która skoro istnieje w naszym Wszechświecie, to bez wątpienia musi być w tym zapisie ujęta. Przykładem na diagramie może być rozpad bozonu Higgsa na parę kwark prawdziwy i takiż antykwark:

No to podsumowując raz jeszcze cały zapis – nie jest to nic innego, jak opis znanych nam cząstek i ich interakcji z siłami. Nie jest to opis pełny, gdyż nadal brakuje w nim grawitacji, jak również tzw. „ciemnej materii” oraz „ciemnej energii”:

Tak działa Wszechświat! A konkretnie to jest jakieś 5% wiedzy o nim, co i tak stanowi spory krok od czasów starożytnych, gdzie interpretowano ogień jako ostre cząstki. Zapis matematyczny może i odrzuca, ale pamiętajcie, że każdy z tych procesów oraz te, które z nich wynikają, można zapisać w przyjaźniejszy sposób za pomocą diagramów Feynmana. Zapis jest niezwykle prosty, gdyż linie ciągłe reprezentują w nim fermiony, a różne sprężynki i fale – bozony. Diagramy można obracać i łączyć w większe grupy, aby intuicyjnie zrozumieć różne zjawiska. Poniżej kilka przykładów dla elektromagnetyzmu:

Pod numerem 1 znajduje się proces emisji lub absorpcji fotonu przez elektron. W taki sposób elektrony przeskakują pomiędzy powłokami elektronowymi w atomie. Wymuszona emisja takich fotonów to nic innego niż sposób działania lasera. 2 – to odpychanie elektronów o tożsamym ładunku elektrycznym które polega na wymianie wirtualnego fotonu pomiędzy elektronami. 3 – to kreacja par elektron–pozyton lub jej anihilacja, a pod numerem 4 kryje się zjawisko znane jako „polaryzacja próżni” pod wpływem powstających wirtualnych par cząstek z ładunkiem elektrycznym. Jak łatwo zauważyć, cechą tych diagramów jest to, że cząstki, które „poruszają się w czasie w tył”, to cząstki reprezentujące antymaterię. Podróże w czasie są oczywiście niemożliwe i żadna cząstka w tył nie podróżuje.

Kolejny diagram przedstawia proces z królestwa oddziaływań słabych – przemianę neutronu w proton w procesie znanym jako „rozpad beta minus”:

Przemiana taka następuje, gdy jeden z kwarków dolnych zmienia zapach i emituje za pośrednictwem wuonu elektron i odpowiednie antyneutrino. Oddziaływania silne zapisane za pomocą tych diagramów są najbardziej złożone z nich wszystkich z uwagi na mnogość kombinacji ładunków kolorowych. Możecie sami skonstruować takie diagramy dla dowolnego zjawiska i dowolnej cząstki – warunkiem jest aby suma ładunków i spinów na początku i końcu się zgadzała tj. aby elektron i jego ładunek ujemny nie pojawił się znikąd a za pośrednictwem Bozonu W, aby po wymianie pary kwar-antykwark (mezonu) pomiędzy protonem i neutronem (barionami) ładunek koloru nadal pozostawał neutralny itp.

Oczywiście to wszystko, co widzicie powyżej, jest znacznym uproszczeniem całości a sam zapis matematyczny w moim wykonaniu nie w pełni oddaje całość teorii, ale przecież „nieścisłości są warunkiem rozmowy”, jak mawiał Feynman, następnym razem porozmawiamy zaś o tym, skąd wziął się w fizyce beton i dlaczego oddziaływanie słabe i elektromagnetyczne to w gruncie rzeczy to samo.

(c) by Lucas Bergowsky
Jeśli chcesz wykorzystać ten tekst lub jego fragmenty, skontaktuj się z autorem
.

“Pikseloza” we Wszechświecie

Porozmawiajmy o tym, na co właśnie patrzycie – o wyświetlaczu waszego monitora. Przyjmijmy dla uproszczenia rozważań, że każdy z nas posiada monitor tupu FULL HD o rozdzielczości 1920×1080 pikseli. Zapis tego typu oznacza że ekran składa się z 1920 pikseli w każdej z 1080 linii. I tu można by postawić sobie pytanie: dlaczego używamy jednostki, jaką jest “piksel”, a nie odpowiedniej podwielokrotności metra, jak na cywilizowanych ludzi posiadających układ SI przystało? Cóż, nie istnieje żaden powód, dla którego nie można by podawać pola powierzchni wyświetlacza w centymetrach kwadratowych, tylko po co? Przekątną ekranu podaje się w calach, ale dlatego, że ma to zastosowanie w pewnym kontekście – gdy zastanawiamy się, czy zmieści się w środowisku salonu. Centymetr nie jest w środowisku takiego wyświetlacza jednostką naturalną i nie można go zastosować uniwersalnie do wszystkich: przecież liczba pikseli na centymetr kwadratowy może się różnić w zależności od typu. Używamy pikseli, gdyż jest to najmniejsza jednostka mająca sens w takim środowisku. Nie oznacza to, że nie istnieją elementy mniejsze, jednak rozważanie ich nie ma sensu, gdyż dopiero efekt ich kolektywnego działania jest przez nas mierzalny. Piksel składa się z trzech mniejszych subpikseli, które zapalając się lub gasnąc, dają wrażenie odpowiedniej barwy jako całość.

fot. CC BY 2.5

Czy wobec tego nasz Wszechświat ma również takie jednostki naturalne? Takie “piksele”, które mają sens wartość granicznych, ekstremalnych? Jak się okazuje – tak, nasz Wszechświat ma takie fantastyczne jednostki i teraz zastanowimy się jak je znaleźć. Gdyby to był wyświetlacz, to pewnie szukalibyśmy tych pikseli na podstawie jego stałych cech, więc w poszukiwaniu tych jednostek warto również przeanalizować stałe fizyczne, na szczęście – nie wszystkie.

Stałe fizyczne obejmują np. masy cząstek elementarnych, ładunek elektryczny, parametry mieszania kwarków i neutrin etc. Te stałe do niczego nam się nie przydadzą. Potrzebne są nam stałe, które dotyczą w jak największy stopniu wszystkich elementów Wszechświata, stałe związane z jak najbardziej powszechnymi cechami obiektów.

Skoro w naszym Wszechświecie czymś wspólnym dla wszystkich obiektów jest to, że mają masę i/lub energię, to znaczenie ma tu stała opisująca oddziaływanie pomiędzy wszystkimi obiektami posiadającymi te cechy. Która to z nich? No, tu nie trzeba mechaniki kwantowej: najprostszym wzorem opisującym związek pomiędzy takimi obiektami jest wzór opisujący prawo powszechnego ciążenia, który jednak okazuje się niewystarczający do opisu sytuacji, gdy mowa o ekstremalnych wartościach pola grawitacyjnego lub obiektach poruszających się z ogromnymi prędkościami. Tam zastosowanie ma opis Einsteina. Zatem porównajmy te wzory w poszukiwaniu tej stałej:

Tym, co łączy obydwa wzory, jest wielkie G, pod którym, wbrew skojarzeniom, kryje się stała grawitacji. Jest to jasne – grawitacja jest tym, co łączy obiekty posiadające masę. Jej wartość wyznaczono eksperymentalnie za pomocą tzw. “wagi skręceń” już w XVIII wieku. O samej wadze i sposobie jej działania możecie przeczytać tu: Rekordy (niekoniecznie) Guinnessa [2]. Najprościej można tę stałą rozumieć jako związek pomiędzy siłą grawitacji a masą zakrzywiającą czasoprzestrzeń.

Kolejną niezwykle ważną cechą przestrzeni jest prędkość rozchodzenia się w niej fal elektromagnetycznych, czyli najwyższa prędkość, z jaką rozchodzą się informacje. Każdy intuicyjnie wie, że prędkość ta jest związana z oporem, jaki stawia dane środowisko, w tym przypadku próżnia. To spójrzmy na dwa wzory związane, wynikające z prawa Coulomba, które opisuje zachowanie obiektów posiadających ładunek elektryczny, oraz z uogólnionego przez Maxwella prawa Ampère’a dotyczącego powstającego pod jego wpływem pola magnetycznego.

Przepraszam za moje greckie pismo. Pod literami mu i epsilon kryją się wyznaczone eksperymentalnie stałe przenikalności elektrycznej i magnetycznej próżni. Z teorii Maxwella wiemy, że pole magnetyczne pojawia się w wyniku zmian w polu elektrycznym i na odwrót, a prędkość rozchodzenia się takich zmian w postaci fali zależy od przenikalności danego ośrodka, co da się opisać matematycznie w sposób, który jasno wskazuje nam, z jaką prędkością rozchodzi się fala elektromagnetyczna w próżni:

W zapisie stałych przenikalności pominąłem jednostki dla czytelności równania. Prędkość c jest stałą opisującą prędkość rozchodzenia się informacji oraz związek pomiędzy energią a masą.

Kolejną stałą jest stała Plancka (h) będąca kwantem działania, najmniejszą możliwą porcją energii, o którą może się zmienić stan układu, aby “coś się stało” – analogicznie do wyświetlacza, gdzie kwantem takiego działania jest zmiana barwy pojedynczego piksela. Obok niej umieszczę stałą, której możecie nie znać – stałą Boltzmanna (kB). Jak wiecie, wszystko, co ma temperaturę wyższą od zera bezwzględnego (czyli wszystko), drży. Im ma wyższą temperaturę, tym bardziej drży, gdyż ma więcej energii. Stała Boltzmanna opisuje po prostu, o ile zmienia się energia takiego drżenia przy wzroście temperatury o jeden kelwin:

Teraz spójrzmy na stałe grawitacji, prędkości światła, Plancka i Boltzmanna na jednym obrazku i odpowiedzmy sobie na pytanie: co je łączy?

O ile wartości mają bardzo różne, to wymiary mają bardzo podobne, choć w różnych potęgach. Są to wymiary czasu, długości, masy itp. W ostatnim tekście pokazywałem wam, jak wyłącznie skracając jednostki we wzorach Einsteina, udowodnić, że obiekty bezmasowe mogą poruszać się wyłącznie z prędkością c niezależnie od tego, ile ona wynosi. W tym przypadku w podobny sposób możemy uzyskać jednostki długości, masy, czasu wyłącznie za pomocą kilku operacji matematycznych. Na cześć tego, który na to wpadł, naturalny układ jednostek nosi nazwę jednostek Plancka. Spróbujmy uzyskać długość Plancka ze stałych grawitacji, Plancka i prędkości światła:

Po podstawieniu do poniższego wzoru wartości wymienionych stałych otrzymamy długość 1,61623×10−35 m. Do czego można porównać taką długość? Fale gamma mają przeciętnie długości od 10−13 do 10−11 m. Dobrym opisem jest tu stwierdzenie, że długość Plancka to najmniejsza odległość, o którą można się przemieścić w naszym Wszechświecie tak, aby można było mówić o przebyciu jakiejkolwiek odległości, która ma sens fizyczny.

Podobne operacje można przeprowadzić również dla innych wartości, tak aby uzyskać masę Plancka, czas Plancka i inne:

Szczególnie ciekawa ze wszystkich jednostek Plancka jest masa, która wynosi 0,02 mg co można porównać do masy którą przeciętnie osiąga komar przed posiłkiem tj. 2,6 mg. Cóż takiego “ekstremalnego” jest w masie porównywalnej z masą niektórych owadów? Jest ona niezwykle duża w porównaniu do pozostałych, gdyż grawitacja jest niezwykle słaba, masa Plancka ściśnięta do rozmiaru objętości Plancka najprawdopodobniej zapadła by się tworząc czarną dziurę. Pokazuje to jak wiele masy potrzeba zgromadzić w niezwykle małej objętości aby grawitacja mogła ostatecznie zdominować scenę. Poniżej tabela zawierająca inne jednostki Plancka:

W początkowych akapitach tekstu pozwoliłem sobie określić te jednostki jako opisujące wartości graniczne, ekstremalne. Większość potęg jest ujemna, ale co w przypadku ciśnienia, gęstości i mocy? Aby zrozumieć, jak ekstremalną wartością jest gęstość Plancka, to przypomnę, że gęstość gwiazd neutronowych to ok. 1,0×1017kg/m3! Jedną z przyczyn, dla których teoria kwantowej grawitacji jest tak poszukiwaną teorią, jest to, że nasza dotychczasowa wiedza załamuje się w obliczu takich sytuacji – nie rozumiemy, co oznaczają takie gęstości na tak małych obszarach. Żadna z teorii nie potrafi powiedzieć, co by się stało, gdyby obiekt o masie Plancka ścisnąć do rozmiarów objętości Plancka. W naszych równaniach w takich sytuacjach pojawiają się osobliwości – obszary nieskończenie małe o nieskończenie dużych masach i gęstościach. O tym i innych problemach z kwantową grawitacją oraz o tym, dlaczego musimy opracować taką teorię – już kolejnym razem!

(c) by Lucas Bergowsky
Jeśli chcesz wykorzystać ten tekst lub jego fragmenty, skontaktuj się z autorem
.