Nie wiem, jak Ciebie, Czytelniku, ale mnie zawsze fascynowały mapy. Taki świat w miniaturze. Bez wychodzenia z domu można było zwiedzić miejsca historyczne czy też śledzić trasy podróży Tomka Wilmowskiego. Nie zastanawialiśmy się wtedy nad naturą map i ich przyrodzonymi ułomnościami, a co dopiero takimi abstrakcyjnymi pojęciami jak rodzaj odwzorowania.

Dlaczego „ułomnościami”? Bo mapa to odwzorowanie powierzchni kuli (sfery) na powierzchni płaskiej, niemożliwe do wiernej realizacji. Jako przykład może służyć skórka pomarańczy, której nijak nie da się idealnie rozłożyć na płaskim stole. Można stosować różne sztuczki z dzieleniem skórki na skrawki, a i tak okaże się, że gdzieś jest wybrzuszenie. Musimy więc, tworząc mapy, stosować pewne fortele zwane odwzorowaniami, zwłaszcza od kiedy kulisty kształt Ziemi przestał być tylko ciekawostką naukową. Czyli od czasów Wielkich Odkryć Geograficznych.

Każde odwzorowanie sfery na powierzchnię płaską jest nieprecyzyjne. Odwzorowania mogą być albo równodługościowe, albo równopolowe albo równokątne. Nie jest możliwe osiągnięcie więcej niż jednej z powyższych właściwości równocześnie. Koniec, kropka.

Prekursorem współczesnej kartografii był Gerard Merkator (Gerardus Mercator), flamandzki matematyk i geograf żyjący w latach 1512-1594. Merkator jako pierwszy użył słowa „atlas”, odnosząc się do do mitycznego tytana Atlasa, którego Grecy uważali także za pierwszego króla Mauretanii (starożytnego królestwa w północno-zachodniej Afryce), także matematyka i astronoma, twórcy pierwszego globusa. Ale nie to jest najważniejsze. Merkator jest autorem (czy też wynalazcą) odwzorowania walcowego równokątnego (wiernokątnego), zwanego odwzorowaniem Merkatora.

Jak to się dzieje przy wielu wynalazkach i odkryciach, także autorstwo Merkatora jest podważane. Przyjaciel Merkatora, Portugalczyk Pedro Nunes, także matematyk, jako pierwszy opisał matematyczne właściwości loksodromy, krzywej przecinającej wszystkie południki pod tym samym kątem. Tę nieco niejasną definicję można uprościć mówiąc, że loksodroma jest drogą z punktu A do punktu B (na globusie), jaką przebędzie statek utrzymujący stały kurs. Loksodromami są więc wszystkie południki i równoleżniki. Pozostałe loksodromy, nachylone do południków pod innym kątem niż 0 i 90 stopni są spiralami zbiegającymi się na biegunie północnym lub południowym. Warto też wiedzieć, że loksodroma nie jest najkrótszą drogą między dwoma punktami. Najkrótszą drogę nazywamy ortodromą. Dodajmy, że na cześć Nunesa noniuszem nazwano dodatkową podziałkę suwmiarki oraz śruby mikrometrycznej.

Wróćmy do Merkatora i Nunesa. Nunes zaproponował mapy żeglarskie jako arkusze oparte na odwzorowaniu równoprostokątnym, nie zniekształcającym kierunków. Ponieważ loksodromy na mapach Merkatora są liniami prostymi, nietrudno dostrzec tajemniczą inspirację naszego wynalazcy pracami Nunesa (której zresztą nie można wyjaśnić wcześniejszymi dokonaniami Merkatora).

Odwzorowanie Merkatora

Nieprzypadkowo odwzorowanie Merkatora i epoka wielkich odkryć zbiegły się w czasie. Długie podróże morskie wymagały dokładnej nawigacji, a mapy Merkatora doskonale się tego nadawały. Podstawową cechą tych map było wyrównanie krzywizny Ziemi poprzez wymuszenie równych odległości między południkami (linie pionowe). Konsekwencją tego zabiegu są równej długości wszystkich równoleżników (linii poziomych). W ten sposób nasza „skórka pomarańczy” została rozłożona na zwykłym płaskim prostokącie.

Jakie są konsekwencje projekcji sfery na powierzchnię walca, bo tym w istocie jest odwzorowanie Merkatora? Są, i to duże. Jedne są zaletami (dlatego morskie mapy nawigacyjne), drugie wadami (wielkości tego samego obszaru jest zależna od szerokości geograficznej).

Jak widać na Ryc. 1, siatka współrzędnych pozwala w prosty sposób operować współrzędnymi prostokątnymi (kartezjańskimi) punktu, co w nawigacji ma pierwszorzędne znaczenie. Dlatego właśnie to odwzorowanie (nieco zmodyfikowane) stosuje się współcześnie w geodezji. Dla celów nawigacyjnych ważna jest też możliwość wyznaczania azymutów, czyli wiernokątność. Wynalazek Merkatora był teoretycznym przełomem w nawigacji, zbyt wielkim przełomem. Nawigacja za pomocą map Merkatora bazowała na kierunkach magnetycznych i dokładnym pomiarze czasu. Z tego też prawdopodobnie powodu dopiero w połowie XVIII wieku, kiedy powstały dokładne chronometry i można było dokładniej wyznaczać deklinację magnetyczną (warto sprawdzić, co to może być?), a nawigatorzy powszechnie zaczęli używać map bazujących na odwzorowaniu Merkatora.

Tyle o zaletach. Jakie wady ma projekcja Merkatora? Podstawową jest nierównomierność odwzorowania obszarów w zależności od ich oddalenia od równika. Nieproporcjonalność staje się wręcz monstrualna w miarę zbliżania się do biegunów. Jako przykład może służyć Ryc. 2.

Jak widać, obszary podbiegunowe są zniekształcone w takim stopniu, że prawie nie nadają się do użytku. Ryc. 3 pokazuje Antarktydę na mapie Merkatora w dwóch położeniach: wokół bieguna południowego i (hipotetycznie) w okolicach równika. Różnica jest kolosalna. Teoretyczne powiększenie punktu będącego biegunem (północnym lub południowym) byłoby nieskończone.

Z tego powodu odwzorowanie Merkatora jest obecnie używane tylko w geodezji i na mapach morskich. Na przełomie XIX i XX wieku opracowano wiele innych projekcji, bardziej użytecznych w zastosowaniach edukacyjnych i komercyjnych (atlasy świata). Coraz większą popularność zdobywa odwzorowanie walcowe równopowierzchniowe (Galla-Petersa), w którym zachowane są powierzchnie obszarów geograficznych kosztem niezachowania wierności kształtów.

Ale… Projekcja Merkatora przeżywa teraz drugą młodość. Mapy internetowe, charakteryzujące się skrajną rozpiętością skali wymusiły konieczność opracowania uniwersalnej projekcji nadającej się do prezentacji zarówno przy skrajnie dużych, jak i skrajnie małych skalach. Projekt nazwano Web Mercator, a projekcję stosuje z powodzeniem firma Google w swoich mapach. Projekcja jest modyfikacją oryginału Gerarda Merkatora i jest stosowana przez większość internetowych dostawców map (Google Maps, CARTO, Mapbox, Bing Maps, OpenStreetMap, Mapquest, Esri).

Małe polonikum

Gerard Merkator wykonał mapę Polonia et Silesia. Mapa po raz pierwszy ukazała się w 1585 r. w atlasie zatytułowanym Germaniae tabule geographicae … i była w XVII wieku głównym źródłem wiedzy kartograficznej o Polsce.