Tag: liczby urojone

Liczby nie całkiem urojone – historia w trzech aktach. Akt II: Wchodzi Euler

Piotr GąsiorowskiLeave a comment

Pozostałe akty i wpisy na pokrewne tematy

Liczby nie całkiem urojone – historia w trzech aktach. Akt I: Początki
Liczby nie całkiem urojone – historia w trzech aktach. Akt III: Świat zespolony
Patrz też: Nielegalne operacje, czyli wiele hałasu o zero

Zanim na scenę wkroczył Leonhard Euler (1707–1783), kilku innych matematyków przygotowało potrzebne rekwizyty. Pod koniec XVII w. zaczęto eksperymentować z przybliżaniem funkcji rzeczywistych za pomocą wielomianów, których kolejne wyrazy zależały od wartości kolejnych pochodnych funkcji w jakimś wybranym punkcie x0.* Zaczynamy od pochodnej „zerowej”, czyli samej funkcji, o której mowa, następnie uwzględniamy jej pierwszą pochodną, potem drugą pochodną (czyli pochodną pochodnej) itd. Ogólnie k-ty wyraz wielomianu dla funkcji f(x) ma dość prostą postać f(k)(x − x0)k ∕ k!, gdzie f(k) jest k-tą pochodną funkcji f.** Dziś nazywamy to rozwijaniem funkcji w szereg potęgowy Taylora (lub Maclaurina, jeśli wybranym punktem jest x0 = 0), jednak ani Brooka Taylora, ani Colina Maclaurina, których nazwiska uwieczniono w ten sposób, nie było jeszcze na świecie, gdy Isaac Newton znalazł kilka takich rozwinięć – między innymi dla funkcji trygonometrycznych sin x i cos x. Można je przedstawić w postaci następujących „sum nieskończonych” (zbieżnych do faktycznej wartości sin x lub cos x dla każdej liczby rzeczywistej, ponieważ reszta pozostająca po uwzględnieniu n początkowych wyrazów szeregu maleje do zera gdy n dąży do nieskończoności).***

  • sin x = x − (x3 ∕ 3!) +  (x5 ∕ 5!) − (x7 ∕ 7!) + …
  • cos x = 1 − (x2 ∕ 2!) +  (x4 ∕ 4!) − (x6 ∕ 6!) + …

Rozwinięcia funkcji sinus i cosinus wyglądają nieskomplikowanie z następującego powodu: pochodną sin x jest cos x, pochodną cos x jest −sin x, pochodną −sin x jest −cos x, a pochodną −cos x jest sin x. Tutaj kółko się zamyka i kolejne pochodne kręcą się w tym samym cyklu. Łatwo sprawdzić że dla x0 = 0 wartości kolejnych pochodnych sin x (poczynając od zerowej) tworzą ciąg okresowy (0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, 1, …); podobnie jest z wartościami kolejnych pochodnych cosinusa: (1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, …). Dlatego w rozwinięciu sin x w szereg Maclaurina nie występują wyrazy zawierające potęgi parzyste zmiennej x (znikają one po pomnożeniu przez 0), a wyrazy zawierające potęgi nieparzyste pojawiają się naprzemiennie ze znakami plus i minus. Podobnie wygląda rozwinięcie cos x, z tą różnicą, że tutaj występują wyłącznie potęgi parzyste, a nieparzyste znikają jako równe zeru.

Metoda, za której pomocą Newton otrzymał powyższe rozwinięcia (oraz kilka innych), była dość żmudna. Ponieważ matematycy brytyjscy intensywnie korespondowali między sobą, o wynikach Newtona dowiedział się w 1670 r. James Gregory, profesor Uniwersytetu w St Andrews w Szkocji, z listu swojego angielskiego kolegi Johna Collinsa. Gregory dla własnej prywatnej satysfakcji opracował ogólną metodę przedstawiania funkcji za pomocą szeregów tego typu, ale nie opublikował jej, był bowiem przekonany, że jest ona już znana Newtonowi. Sam Newton później także zbliżył się do sformułowania ogólnej teorii funkcji rozwijalnych w szeregi potęgowe, ale pozostawił ją w końcu niekompletną i nieopublikowaną. Dlatego zasługa przedstawienia jej światu przypadła w roku 1715 Brookowi Taylorowi.

Leonhard Euler, obywatel Szwajcarii, miał osiem lat, gdy metoda Taylora ujrzała światło dzienne, ale już pięć lat później podjął studia na Uniwersytecie w Bazylei, jednocześnie pobierając lekcje matematyki u Johanna Bernoulliego. Bernoulli cieszył się zasłużoną reputacją największego matematyka szwajcarskiego. Dzielił ją wcześniej ze swoim bratem Jacobem, który zmarł w 1705 r. Euler przerósł swojego mistrza. W 1726 r. jako dziewiętnastolatek zdobył stopień doktora i rozpoczął zawrotną karierę, stając się jednym z najpłodniejszych naukowo uczonych wszech czasów i reformatorem matematyki. Sam zainicjował kilka jej działów, uporządkował notację formalną (czyli powszechnie zrozumiały, uniwersalny język matematyki); sformalizował też wiele użytecznych pojęć, jak choćby funkcje i sposób ich oznaczania. Jeśli dziś piszemy f(x), to używamy zapisu Eulera.

Do ulubionych funkcji Eulera należała f(x) = ex, czyli odkryta przez niego samego funkcja eksponencjalna (szczególny przypadek funkcji potęgowej). Jest to w rzeczy samej, między nami mówiąc, jedna z najważniejszych funkcji w całym królestwie matematyki, a także wszelkich nauk, którym matematyka dostarcza narzędzi. Jej podstawę, liczbę niewymierną e = 2,7182818…, odkrył w zasadzie Jacob Bernoulli, ale to Euler zbadał gruntownie jej właściwości; on też oznaczył ją literą e, dlatego przylgnęła do niej nazwa „stałej Eulera”.

Funkcja ex ma tę interesującą właściwość, że jest w każdym punkcie swoją własną pochodną, a zatem wartości wszystkich jej pochodnych (zerowej, pierwszej, drugiej, trzeciej itd.) w punkcie x0 = 0 wynoszą tyle samo: e0 = 1. Z tej przyczyny jej rozwinięcie w szereg Maclaurina jest jeszcze prostsze niż w przypadku funkcji trygonometrycznych:

  • ex = (x0 ∕ 0!) + (x1 ∕ 1!) +  (x2 ∕ 2!) + (x3 ∕ 3!) + (x4 ∕ 4!) + …

albo jeszcze prościej:

  • ex = 1 + x + (x2 ∕ 2!) + (x3 ∕ 3!) + (x4 ∕ 4!) + …

Warto dodać, że jest to rozwinięcie zbieżne dla wszystkich liczb rzeczywistych. Dla niedużych x jest szybko zbieżne, czyli daje bardzo dobre przybliżenie poszukiwanej wartości już po uwzględnieniu stosunkowo niewielkiej liczby składników sumy niekończonej. Sama liczba e jest oczywiście wartością ex dla x = 1, toteż można ją wyrazić w postaci następującej sumy:

  • e = 1 + 1 + (1 ∕ 2!) + (1 ∕ 3!) + (1 ∕ 4!) + (1 ∕ 5!) + (1 ∕ 6!) + (1 ∕ 7!) + (1 ∕ 8!) + (1 ∕ 9!) + …

Uwzględniając tylko te dziesięć wyrazów szeregu otrzymujemy e ≈ 2,7182815 …; przybliżenie to różni się od dokładnej wartości liczby e dopiero na siódmym miejscu po przecinku.

Przyglądając się rozwinięciu funkcji eksponencjalnej i funkcji trygonometrycznych, Euler zwrócił uwagę, że występują w nich te same składniki postaci xk ∕ k!, tyle że z różnymi znakami: w ex występują same plusy, a w funkcjach sin x i cos x na zmianę plusy i minusy; ponadto zaś w rozwinięciach sinusa i cosinusa brak co drugiego składnika. Gdyby tak połączyć sinus z cosinusem i coś zrobić z tymi minusami, być może ujawniłby się jakiś ciekawy związek między funkcjami pochodzącymi pozornie z całkiem różnych parafii.

Trzy funkcje, którym przyjrzał się Euler (tu oczywiście i argumenty, i wartości są liczbami rzeczywistymi).

Zauważmy, że liczba i podnoszona do kolejnych potęg (zaczynając od zerowej) daje nam następujący ciąg wartości: (1, i, −1, −i, 1, i, −1, −i, 1, …) i tak dalej w kółko. Występują tu na przemian liczby rzeczywiste i urojone, przy czym jedne i drugie na przemian przybierają przeciwne znaki. Ten schemat jest dziwnie znajomy: coś podobnego działo się przecież z sinusem i cosinusem rozwiniętymi w szeregi potęgowe! Może więc naprzemienność znaków da się wymusić przez wprowadzenie wartości urojonej do wykładnika funkcji? Co prawda nikt wcześniej nie próbował podnosić czegokolwiek do potęgi urojonej, ale mamy przecież elegancki wzór na ex, który działa dla wszystkich liczb rzeczywistych x. Czy zadziała także dla liczb urojonych postaci ix? Co szkodzi sprawdzić? A więc sprawdźmy:

  • eix = 1 + ix + (i2x2 ∕ 2!) + (i3x3 ∕ 3!) + (i4x4 ∕ 4!) + (i5x5 ∕ 5!) + (i6x6 ∕ 6!) + (i7x7 ∕ 7!) +…

czyli – pamiętając, jakie są kolejne potęgi i:

  • eix = 1 + ix − (x2 ∕ 2!) − i (x3 ∕ 3!) + (x4 ∕ 4!) + i (x5 ∕ 5!) − (x6 ∕ 6!) − i (x7 ∕ 7!) +…

Posegregujmy teraz osobno wyrazy rzeczywiste i urojone, rozbijając szereg na dwa podszeregi:

  • eix = [1 − (x2 ∕ 2!) + (x4 ∕ 4!) − (x6 ∕ 6!) + …] + i [1 − (x3 ∕ 3!) + (x5 ∕ 5!) − (x7 ∕ 7!) + …].

I cóż nam się wyłoniło w nawiasach kwadratowych? W pierwszym z nich widzimy jak na dłoni rozwinięcie w szereg potęgowy funkcji cos x, a w drugim sin x. O każdym z tych rozwinięć wiemy, że zachowuje się przyzwoicie, czyli jest zbieżne dla każdej rzeczywistej wartości x. A skoro tak, to funkcja eksponencjalna ma dobrze określoną wartość zespoloną dla każdej liczby urojonej ix, a wartość ta wynosi…

  • eix = cos x + i sin x  [wzór Eulera].

Stąd wynika także, że dla każdej liczby zespolonej postaci z = a + bi

  • ez = ea + bi = ea (cos b + i sin b).

Teraz nie tylko potrafimy podnosić liczby rzeczywiste do potęgi zespolonej, ale na dokładkę odkryliśmy (tzn. Euler odkrył w latach czterdziestych XVIII w.) głęboki związek między funkcjami wykładniczymi a trygonometrycznymi, w którym kluczową rolę odgrywają liczby zespolone. Funkcje cos x i sin x są ni mniej, ni więcej, tylko – odpowiednio – częścią rzeczywistą i częścią urojoną wartości zespolonej eix.

Wzór Eulera uchodzi słusznie za jeden z najbardziej satysfakcjonujących estetycznie wzorów matematyki. Mimo swojej pozornej abstrakcyjności jest niesłychanie przydatny także w fizyce i jej zastosowaniach inżynierskich, niekoniecznie bezpośrednio, ale poprzez liczne wynikające z niego konsekwencje. Wrażenie, jakie robi, można wzmocnić za pomocą następującej efektownej sztuczki magicznej. Niech x będzie równe π = 3,14159265… Jest to, jak pamiętamy, miara kąta półpełnego. Jak uczy trygonometria, cos π = −1, sin π = 0. Ze wzoru Eulera wynika więc natychmiast, że

  • eiπ = −1,

czyli

  • eiπ + 1 = 0  [tożsamość Eulera].

Występują w tej tożsamości dwie najważniejsze liczby całkowite, 0 i 1, jednostka urojona i, dwie najbardziej fundamentalne liczby niewymierne, e i π, trzy podstawowe działania (dodawanie, mnożenie i potęgowanie) oraz szczególnie ważna relacja matematyczna (równość), a wszystko to splecione w sposób tak zwięzły, zaskakujący i nieoczywisty, że wydaje się wręcz mistyczny. Jest to jednak prosta konsekwencja czegoś głębszego i ważniejszego, czyli ogólniejszego wzoru Eulera. To w nim są „zaszyte” tajemne związki między odległymi działami matematyki.

O tym, co wynikło z tych osiągnięć, i o tym, jak reprezentujemy liczby zespolone w sposób przystępny dla wyobraźni laika, opowie akt III.

Przypisy

*) Zakładam, że Czytelnik wie, co to jest pochodna, ale jeśli ktoś nie pamięta, tu można sobie odświeżyć wspomnienia ze szkoły: https://www.medianauka.pl/pochodna-funkcji.

**) Mam nadzieję, że wszyscy znają ze szkoły symbol silni: n! = 1 × 2 × 3 … × n; dodatkowo zakładamy, że 0! = 1, więc dla każdej dodatniej liczby całkowitej n! = (n − 1)! × n.

***) Pamiętajmy, że argument x nie jest tu wyrażony w stopniach, ale (jak przystało w poważnej matematyce) w jednostkach miary łukowej: przyjmujemy zatem, że miarą kąta prostego jest ½π, kąta półpełnego π, a pełnego 2π.

Liczby nie całkiem urojone – historia w trzech aktach. Akt I: Początki

Piotr Gąsiorowski4 komentarze

Pozostałe akty i wpisy na pokrewne tematy

Liczby nie całkiem urojone – historia w trzech aktach. Akt II: Wchodzi Euler
Liczby nie całkiem urojone – historia w trzech aktach. Akt III: Świat zespolony
Patrz też: Nielegalne operacje, czyli wiele hałasu o zero

Cała matematyka jest jednym wielkim eksperymentem myślowym. Kiedy ludzie nauczyli się liczyć, najpierw obracali się w kręgu stosunkowo niewielkich liczb naturalnych, które miały oczywiste zastosowania w życiu codziennym. Następnie zdali sobie sprawę, że system porządkowania i nazywania liczb, który działa w zakresie od 1 do 100 albo do 1000 można dowolnie rozszerzać i że zbiór wszystkich liczb definiowanych w ten sposób nie jest skończony. Z czasem odkryto, że ułamki można traktować podobnie jak liczby całkowite i wykonywać na nich działania arytmetyczne. Matematyka grecka przeżyła kryzys, kiedy się okazało, że istnieją wielkości (jak choćby długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym), których nie da się wyrazić proporcjami liczb całkowitych. Grecy przez kilka stuleci zmagali się z problemem wielkości niewymiernych („niewyrażalnych”, biorąc pod uwagę ograniczenia ówczesnej notacji). Pogodzili się z ich istnieniem, ale traktowali je inaczej niż wielkości „prawdziwe”, czyli odpowiadające ułamkom o liczniku i mianowniku całkowitym. W końcu jednak niewymierność także oswojono.

Na każdym etapie znajdował się ktoś, kto rozumował w następujący sposób: „Wyobraźmy sobie, że L jest nową kategorią liczb, na których spróbujemy wykonywać znane dotychczas operacje. Co z tego wyniknie?” I okazywało się zazwyczaj, że uogólnienie pojęcia liczby upraszcza żmudne operacje i umożliwia rozwiązywanie problemów matematycznych wcześniej niepoddających się analizie. Z czasem odkryto liczby ujemne i zero oraz reguły wykonywania na nich działań. I choć zawsze z początku trzeba się było oswoić z coraz bardziej abstrakcyjnym pojmowaniem „liczby”, po pewnym czasie nikt już nie pytał, czy ułamki, liczby niewymierne lub ujemne, nie wspominając o liczbie zero, są „mniej prawdziwe” niż 1, 2, 3, 4, … Dziś po kursach matematyki na poziomie szkoły średniej nikt raczej nie traktuje √2 albo −3 jako liczb „nie do końca prawdziwych”. Jesteśmy całkowicie oswojeni z interpretacją liczb rzeczywistych w formie „osi liczbowej” i zupełnie nie dziwi nas, że jakaś funkcja może przyjmować wartości ujemne, zerowe lub niewymierne.

A jak jest z liczbami urojonymi i zespolonymi? Choć znane są od kilkuset lat, nadal nie zostały całkowicie oswojone. Opisał je jako pierwszy włoski matematyk Rafael Bombelli w 1572 r. Motywacją była próba zrozumienia tego, co się dzieje w tzw. „przypadku nieprzywiedlnym” wynalezionej w XVI w. metody rozwiązywania równań trzeciego stopnia. W tym przypadku równanie ma trzy rozwiązania (“pierwiastki”) rzeczywiste, ale żeby znaleźć dwa z nich, trzeba wykonać działania, w których występuje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Wiadomo było, że takie pierwiastki kwadratowe nie mogą istnieć, bo każda liczba podniesiona do kwadratu daje wartość nieujemną. Mimo to można było kontunuować wykonywanie obliczeń, udając, że mają one „jakąś tam sobie” fikcyjną wartość (na ten pomysł wpadł wcześniej Gerolamo Cardano). Zawierające je wyrazy we wzorach występują raz z plusem, raz z minusem i po zsumowaniu ulegają redukcji, więc tę fikcyjną wartość można było zignorować. Była potrzebna tylko do wykonania działań, po czym uprzejmie znikała.

Bombelli zauważył, że zamiast traktować trik Cardana jako wybieg formalny, który działa, choć nie bardzo wiadomo dlaczego, można wprowadzić specjalną kategorię liczb – inną niż wszystkie znane uprzednio – o takiej właściwości, że ich kwadrat jest liczbą ujemną. Można je sumować ze zwykłymi liczbami, ale ta suma zawiera dwa wyraźnie odrębne składniki (według dzisiejszej terminologii – część rzeczywistą i część urojoną, pomożoną przez √−1). Bombelli opracował szczegółowe zasady arytmetyki tych liczb, które nazywamy obecnie zespolonymi. Rozumował tak: „Wyobraźmy sobie, że traktujemy √−1 jako prawdziwą liczbę, i sprawdźmy, dokąd nas to zaprowadzi, jeśli będziemy postępować konsekwentnie i zgodnie z logiką”. Był to podobny błysk geniuszu jak te, którym zawdzięczamy traktowanie ułamków jako pełnoprawnych liczb, a nie tylko „proporcji” (Diofantos, II w. n.e.), wprowadzenie kategorii liczb ujemnych i zera jako liczby, a nie tylko pustej pozycji (Brahmagupta, VII w. n.e.) oraz połączenie liczb wymiernych i niewymiernych w uogólnioną, jednolitą kategorię liczb rzeczywistych (średniowieczni matematycy arabscy).

Strona z traktatu Bombellego L’Algebra (wyd. z roku 1579). Na dole strony widnieją reguły mnożenia dodatnich i ujemnych liczb urojonych przez dodatnie i ujemne liczby rzeczywiste oraz urojone. Źródło (licencja CC BY 4.0. Courtesy of The Linda Hall Library of Science, Engineering & Technology).

Liczby zespolone okazały się z czasem nieoczekiwanie przydatne, ale przez kolejne sto lat traktowano je nieufnie. Nieufność dotyczyła oczywiście ich składnika „urojonego”. Nazwę tę (po francusku nombre imaginaire) wprowadził w 1637 r. Kartezjusz. Jej zamierzony wydźwięk był pejoratywny, bo zdaniem Kartezjusza liczby te nie odpowiadały żadnym właściwościom obiektów geometrycznych, dlatego w odróżnieniu od liczb „rzeczywistych” były czymś wydumanym i oderwanym od rzeczywistości. W oryginalnym przykładzie rozważanym przez Kartezjusza równanie trzeciego stopnia x3 − 6x2 + 13x − 10 = 0 ma trzy pierwiastki. Jeden z nich jest liczbą rzeczywistą, a zatem „prawdziwym” rozwiązaniem. Pozostałe dwa zawierają składniki urojone, więc (aczkolwiek można wykonywać na nich legalnie działania arytmetyczne), należą – zdaniem Kartezjusza – do świata wyobraźni, a nie do rzeczywistości. Istotnie, jeśli narysujemy wykres funkcji f(x) = x3 − 6x2 + 13x − 10 w układzie współrzędnych wynalezionym przez Kartezjusza, to przecina on oś X tylko w jednym punkcie, odpowiadającym rozwiązaniu będącemu liczbą rzeczywistą, x1 = 2. Pozostałych dwóch pierwiastków równania nigdzie nie widać. Wniosek? Istnieją one wyłącznie w bujnej fantazji matematyków. Mimo to można dokładnie obliczyć ich wartości zespolone: x2 = 2 + √−1 oraz x3 = 2 − √−1.

Zauważmy, że zarówno suma, jak i iloczyn tych pierwiastków są liczbami rzeczywistymi:

  • x2 + x3 = 2 + 2 + √−1 − √−1 = 4,
  • x2 × x3 = 22 − (√−1)2 = 4 − (−1) = 5.
Wykres kartezjański funkcji wielomianowej o jednym pierwiastku w dziedzinie rzeczywistej i dodatkowych dwóch (niewidocznych tutaj) pierwiastkach w dziedzinie zespolonej.

Innymi słowy, operując na wartościach „nierzeczywistych” możemy otrzymywać wyniki jak najbardziej rzeczywiste (o czym była już wyżej mowa). Nie przekonało to Kartezjusza, choć jedyne, co mógł zarzucić liczbom zespolonym i ich częściom urojonym, to fakt, że układ współrzędnych kartezjańskich (w wersji klasycznej) z góry zawężał uwagę wyłącznie do dziedziny liczb rzeczywistych i nie było sposobu, żeby za jego pomocą reprezentować wartości zespolone. Wyłącznie dlatego pozostawały – nie z własnej przecież winy – niewidoczne. Jednak z formalnego punktu widzenia nic nie stało na przeszkodzie, żeby w równaniach typu a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = 0 zmienna x mogła przyjmować wartości zespolone. Algorytm nadal działał bez zarzutu i „wypluwał” trzy pierwiastki równania, niekoniecznie rzeczywiste. Trzeba było tylko rygorystycznie przestrzegać dość oczywistych reguł poprawnego wykonywania operacji na liczbach zespolonych.

W XVIII w. dokonał się następny przełom w zrozumieniu, do czego mogą się przydać liczby zespolone. Jego głównym bohaterem był Leonhard  Euler, który notabene wprowadził używaną do dziś notację. Zastosował mianowicie symbol „jednostki urojonej” i zamiast mniej poręcznego i nie zawsze jednoznacznego wyrażenia √−1. Liczba i pomnożona przez samą siebie daje wynik −1. Ale nie ona jedna ma tę właściwość, bo (o czym wiedział już Bombelli) również (−i)2 = −1. Liczbę zespoloną zapisujemy standardowo jako z = a + bi, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi (nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą i częścią urojoną liczby z). Jeśli b = 0, to z jest liczbą rzeczywistą. Jeśli a = 0, to z jest liczbą urojoną. Obie te kategorie są szczególnymi przypadkami ogólniejszego pojęcia liczb zespolonych. Liczba 0 jako jedyna należy jednocześnie do liczb rzeczywistych i urojonych. Pierwiastki „nierzeczywiste” równania, o którym wspomniał Kartezjusz, możemy zapisać przejrzyściej jako x2 = 2 + i oraz x3 = 2 − i. Tyle wiedzy na początek wystarczy.

O tym zaś, co konkretnie odkrył Euler, opowie akt II.