Katastrofa w nadfiolecie – Eksperyment Myślowy

Poprzedni tekst Rozgrzany do czerwoności! zakończyłem poniższym wykresem:

Na początku ubiegłego wieku ówcześni naukowcy starali się rozgryźć, dlaczego ten wykres ma właśnie taki kształt, a nie inny. Naniesiono na niego wyniki obserwacji, z których jasno wynikało, iż wszystkie ciała we Wszechświecie, zależnie od swojej temperatury, emitują promieniowanie elektromagnetyczne (nazywane w tym kontekście termicznym) z różną intensywnością: dla ciał o temperaturze od pokojowej do kilkuset stopni Celsjusza maksimum intensywności przypada na podczerwień; dla wyższych temperatur maksimum przesuwa się w lewo w kierunku światła widzialnego i ultrafioletu (co doskonale pasuje do obserwacji promieniowania emitowanego przez gwiazdy). Zachodzi więc pytanie: czym jest czarna linia opisana jako „Classical theory”? Jest efektem pierwszych prób opisania tego zjawiska za pomocą „naszych dotychczasowych teorii, które jak do tej pory świetnie się sprawdzały”. Tylko że w tym przypadku doprowadziły do czegoś, co jest opisane w szkolnych podręcznikach jako „katastrofa w ultrafiolecie”. Te same podręczniki zwykły opisywać to zagadnienie w dość ogólny sposób, z którego potem człowiek niewiele pamięta, zwłaszcza że była tam jakaś podejrzana matematyka.

Matematyka to po prostu język, który umożliwia opisanie zjawisk w bardzo ogólny, wręcz uniwersalny sposób (oczywiście w zadanym zakresie i w granicach naszego pojmowania). W tym przypadku próba opisania promieniowania termicznego w sposób matematyczny doprowadziła do tego, co odczytujemy z wykresu: ciało jak najbardziej powinno emitować promieniowanie elektromagnetyczne i niezależnie od temperatury większość emisji powinna przypadać na ultrafiolet, a emitowana energia dąży do nieskończoności.

Jeśli gdziekolwiek w opisie pojawia się nieskończoność, to jest to dla nas jasny sygnał, że ewidentnie nie rozumiemy tego, na co patrzymy. Wspomniana katastrofa ma miejsce w naszych obliczeniach, ale nie w rzeczywistości. Skąd się ona wzięła i jak do niej doprowadzono? W szkole nie zrozumiałem z tego nic, ale z pomocą przyszedł wspomniany w poprzednim tekście Feynman i jego przekonanie, że nie ma sensu uczyć się samej matematyki, jeśli nie wiadomo, co się za nią kryje.

No to co się kryje za wspomnianym wykresem? To dość proste, ale nie rozmawiajmy o matematyce i zapomnijmy, że jakikolwiek wykres widzieliśmy kiedykolwiek na oczy – nie ma takich rzeczy. Macie gumkę recepturkę względnie jakiś instrument strunowy? No to naciągnijcie gumkę (struny zazwyczaj już są), uderzcie w nią i poobserwujcie, co się dzieje (możecie też posłuchać).

Otóż struna drga! No właśnie – drga w określony sposób, gdyż wzdłuż niej przesuwa się fala. W tym przypadku mechaniczna, a jeśli przyjrzeć się dokładniej, to właściwie są to dwie fale nakładające się na siebie. Taki rodzaj fali nazywamy falą stojącą. To teraz spójrzmy, co się stanie jeśli zmienić długość fali – na przykład skrócić strunę, chwytając ją dokładnie w połowie. Ewidentnie widać, że zwiększyła się jej częstotliwość. Nasuwa się wobec tego pytanie: ile razy można powtórzyć tę operację? Nieskończenie wiele razy.

Tylko jaki to ma związek z omawianym tematem, czyli promieniowaniem termicznym, ciałem doskonale czarnym i katastrofą w ultrafiolecie? Fundamentalny! W końcu fala to fala – obojętnie, czy mechaniczna, czy elektromagnetyczna. Wróćmy na chwilę do ilustracji urządzenia, które symuluje ciało doskonale czarne (tj. takie które absorbuje całe padające nań promieniowanie).

Przypominam jak to działa. Modelem ciała doskonale czarnego jest szczelina w pudełku, którego ściany od wewnątrz są pokryte np. sadzą. O ile zewnętrzne ścianki takiego pudełka będą odbijać padające na nie promieniowanie, o tyle to, co wpadnie przez szczelinę, już tam zostanie, dlatego całe promieniowanie wydostające się ze szczeliny będzie zależeć tylko i wyłącznie od temperatury. No to co się tam dzieje i po co te fale? Weźmy latarkę, poświećmy przez chwilę na to pudło i pomyślmy, cośmy najlepszego narobili!

Światło, a więc strumień fotonów, wpadło do wnętrza pudełka i zostało pochłonięte na jego ściankach. Konkretnie to fotony zostały pochłonięte przez elektrony będące składnikiem atomów, z których każdy obiekt materialny się składa. I co dalej? Skoro pudełko emituje promieniowanie elektromagnetyczne, to są to z pewnością fale tego rodzaju, które docierając do przeciwległej ścianki pudełka, odbijają się, nakładając się na siebie. Jaki to rodzaj fal? Stojące fale elektromagnetyczne. Z obserwacji wiemy, że każde ciało, które emituje promieniowanie termiczne, emituje je we wszystkich zakresach częstotliwości. Stąd wiemy, że tych stojących fal wewnątrz pudełka możemy się spodziewać we wszystkich zakresach – od radiowych po najwyższe częstotliwości. Katastrofa zaczęła się, gdy próbowano to wszystko opisać za pomocą czegoś, co groźnie nazywa się zasadą ekwipartycji energii.

To naprawdę nic trudnego do zrozumienia, jeśli tylko chwilę się zastanowić nad pewną kwestią. Usiądźmy przy trzech koszach na śmieci, do których ludzie co jakiś czas coś wrzucają, poobserwujmy trochę i spróbujmy sobie odpowiedzieć na pytanie: który z koszy pod koniec dnia będzie wypełniony najbardziej przy założeniu że ludzie wrzucają tam odpadki całkowicie losowo, a każdy z nich zajmuje dokładnie taką samą objętość? Pytanie na które nie da się odpowiedzieć? Nic z tych rzeczy – skoro mamy trzy kosze i absolutnie żadnych preferencji co do wyboru, to oznacza, że każdy z nich będzie wybierany średnio tak samo często, a więc pod koniec dnia wszystkie będą wypełnione tak samo.

Podobna sytuacja zachodzi z cząstkami, które również mają coś do wyrzucenia na kilka różnych sposobów – energię, która powoduje ich drgania. I teraz kolejne pytanie: w którym kierunku te drgania mają miejsce? Cząstka, jeśli jest jedna, to ma do wyboru osie x, y, z, czyli trzy stopnie swobody, jak nazywają to statystycy. No i teraz jeśli tych cząstek jest biliard to która z osi będzie preferowana najczęściej, jeśli drgania termiczne mają charakter chaotyczny? Odpowiedzi udzieliliśmy sobie powyżej. Na każdy ze stopni swobody statystycznie przypada tyle samo energii. A po co o tym mowa, skoro przed chwilą było coś o strunach i o tym, że częstotliwości fal wewnątrz pudełka jest tyle, że ich liczba dąży do nieskończoności?

Każda z częstotliwości fal elektromagnetycznych jest takim stopniem swobody, co oznacza że mamy skończoną porcję energii podzielić pomiędzy nieskończoną liczbę stopni swobody. Jeśli na każdy z nich ma przypadać tyle samo, to tego zrobić się nie da. Matematyka z pewnością się nie myli, zastosowaliśmy jej narzędzia i wyszły nam piramidalne bzdury. Oznacza to, że nasze dotychczasowe rozumienie zjawiska zupełnie nie przystaje do rzeczywistości. Obserwacje dają nam jedne dane, które odkładamy na wykresie – linię dążącą do maksimum i gwałtownie opadającą; nasze próby opisania tego z kolei sugerują coś zupełnie innego. Wszechświat się nie psuje, natomiast my mylimy się często.

Sprawcą powyższej katastrofy w głównym stopniu okazał się Lord John Rayleigh, angielski fizyk i noblista. Chcąc sformułować prawo opisujące rozkład promieniowania termicznego, skorzystał z pomocy matematyka Jamesa Jeansa. Zastanawiając się nad tym, jak sformułować prawo, które w sposób uniwersalny opisze rozkład promieniowania z powierzchni ciała doskonale czarnego, należy znaleźć matematyczny opis czegoś, co mądrze nazywa się radiancją spektralną częstotliwości. Po polsku oznacza to, ile mocy wyemitowanej przej jednostkę powierzchni takiego ciała przypada na daną czestotliwość lub długość fali. Panowie zaproponowali prawo opisane poniższym wzorem:

Wiem, że miało być bez matematyki, ale to naprawdę nie jest nic skomplikowanego. Prędkość światła jest tam potrzebna, bo mówimy przecież o emisji promieniowania elektromagnetycznego. Stała Boltzmanna to taka stała, która opisuje rozkład energii cząsteczek; jest nam potrzebna, bo opisuje proporcjonalność pomiędzy średnią energią kinetyczną pojedynczej cząsteczki a temperaturą bezwzględną (mówimy o skali Kelwina). T, czyli temperatura w kelwinach, i oczywiście lambda opisująca długość fali. Wzór elegancki, ale spójrzcie na jego mianownik: długość fali do czwartej potęgi. I tu pojawiła się katastrofa, a „tu” oznacza: gdy postanowiono przeprowadzić w związku z tym wzorem pewną operację matematyczna o bardzo nieprzyjemnej dla ucha nazwie, tj. całkowanie. Najprościej i prymitywnie mówiąc, jest to proces dodawania wielu małych elementów, aby uzyskać sumę. Jest to odpowiednik mnożenia dla dodawania lub potęgowania dla mnożenia. W rzeczywistości, gdy mówimy, że obliczamy „całkę funkcji”, to znajdujemy sumę nieskończenie wielu śladowych elementów. Tylko że w rozumowaniu Rayleigha i Jeansa była pewna słabość.

Nawet jeśli wspomnianych stopni swobody jest dowolnie dużo, to nie na każdy z zakresów promieniowania przypada ich tyle samo. Bez wchodzenia w matematykę, a dla zobrazowania, o czym mowa – jeśli na podczerwień przypada ich dajmy na to 100, na światło widzialne 1000 a na ultrafiolet 10 000, a na każdy z nich przypada średnio tyle samo energii – powiedzmy, 5 jednostek, to niezależnie od tego, jakich jednostek użyć, najwięcej emitowanej energii musi przypadać na najwyższe zakresy. Właśnie dlatego wykres, zamiast być poziomą linią, gwałtownie wznosi się ku górze, dążąc do nieskończoności.

Dla fal o dużych długościach wzór był poprawny, ale im krótsze fale, tym bardziej rozjeżdżał się z rzeczywistością, zresztą wnioski z niego płynące również: gdyby każde ciało niezależnie od swojej temperatury miałoby wypromieniowywać najwięcej energii w ultrafiolecie, to życie na naszej planecie byłoby niemożliwe, a tak wystarczą kremy z filtrem.

Do czasów, o których mówimy, nie udało się wyjaśnić, dlaczego ciała promieniują tak a nie inaczej; dziś już to wiemy. Odkrywcą rozwiązania był Max Planck, który postanowił przyjrzeć się temu spektrum dokładniej i „zauważył” w nim pewne nieciągłości. No, ale to już temat na kolejny tekst, w którym dowiemy się, dlaczego klasyczna fizyka zawiodła i jakiego ambarasu narobił wspomniany Planck kolejnym pokoleniom fizyków…

Poprzednie odcinki dotyczące dziwacznej natury fotonu oraz podzielności obiektów rzekomo niepodzielnych pozostawiłem otwarte twierdząc iż dalsze badania i odkrycia to część kolejnej historii.

Zaczyna się ona około 1873 roku gdy młody Max Planck usłyszał od wybitnego profesora fizyki Philipp von Jolly’ego, iż jego wybór fizyki jako kierunku studiów nie ma sensu i by poświęcił się muzyce. Fizyka w tamtych latach była uważana za dziedzinę w której już właściwie wszystko odkryto i opisano. Wybitni Fizycy uważali że potrzebują już tylko paru lat gdyż pozostało tylko kilka zagadnień które wymagały wyjaśnienia i matematycznego opisu. Max Planck miał odrzec, że właściwie to się wszystko świetnie składa bo on pragnie nie tyle odkryć coś nowego co lepiej zrozumieć to co już wiadomo. Jednym z owych zagadnień było coś co nazwano „promieniowaniem ciała doskonale czarnego”. W żaden sposób nie potrafiono w pełni wyjaśnić ani opisać uniwersalnym wzorem tego co obserwowano w doświadczeniach. Planck postanowił przyjrzeć się więc temu bliżej. A o co właściwie chodzi? Tu jestem winien trochę wyjaśnień.

W pierwszym odcinku opowiadałem o doświadczeniu Younga który zobaczył na ścianie prążki interferujących fal światła, i tę sytuację da się opisać przy pomocy matematyki – a przy pomocy wzoru przewidzieć gdzie taki prążek wypadnie.

Skoro wiadomo iż jasne prążki występują w miejscu wzmocnienia się fal to można to łatwo obliczyć znając odległość pomiędzy szczelinami oznaczoną na ilustracji jako „d”. Jak łatwo zauważyć od punktów A i C promienie mają do pokonania tę samą drogę. Różnicę oznaczamy znaną wszystkim deltą. Z powstałego trójkąta łatwo wyznaczyć sinus. Wynika z tego że zawsze gdy delta będzie całkowitą wielokrotnością długości fali na ekranie powstanie jasny prążek. Co ważne – ten wzór jest zawsze poprawny, niezależnie od sytuacji i wartości. W przypadku problemu którego podjął się Planck fizycy napotkali na poważny zgrzyt. I tu musimy sobie opowiedzieć o tym czym jest owo „ciało doskonale czarne”.

No to zacznijmy od tego, iż taki obiekt nie istnieje – jest to taki rodzaj ciała które pochłonie całe padające nań promieniowanie nie odbijając niczego. Można to sobie zobrazować jako pudło z niewielkim otworem, które od środka jest pokryte np. grafitem lub sadzą. Promieniowanie wpadające przez taki otwór już raczej nie ucieknie, a zostanie pochłonięte wewnątrz. Tym samym ciało takie promieniuje wyłącznie „własnym światłem” – w pewnym uproszczeniu warunek ten spełniają gwiazdy. Czyli wraz z wzrostem temperatury takiego ciała będzie ono promieniować, a my będziemy obserwować przesuwanie się takiego widma w stronę fal o coraz mniejszej długości. Ciało o temperaturze pokojowej promieniuje „najbardziej” w zakresie podczerwieni i przesuwa się to przez światło widzialne (szarości, czerwienie, barwy żółte i tak do niebieskich). I tak gdyby przyłożyć nasze Słońce do tego wykresu to dla swojej temperatury powinno promieniować najbardziej w żółto-zielonym zakresie widma. I tak jest. Problem, który mieli fizycy w tamtych latach był typowy dla naukowców – wzory absolutnie nie zgadzały się z obserwacjami. Z matematyki wynikało, iż ciało powinno najbardziej promieniować w zakresie nadfioletu a jego energia powinna być nieskończona. Co jest oczywistą bzdurą – jak dobrze wiemy nie ma ciał o nieskończonej ilości energii. Uzgodnienia matematycznej prawdy z obserwowalną rzeczywistością podjął się właśnie Max Planck.

Jak Planck rozwiązał ten problem? Niechcący. Poszukiwał wśród istniejących wzorów takiego który po zmodyfikowaniu da wyniki zgodne z obserwacjami. Taki wzorem okazał się wzór wynikający z Prawa Wiena. Wzór ten jest bardzo przydatny gdyż pozwala nam określać temperaturę odległych obiektów na podstawie widma promieniowania. Tak przecież określa się temperaturę gwiazd – bo chyba nikt nie sądził iż robi się to termometrem :). Planck zauważył że jeśli odjąć w mianowniki wzoru Wiena jedynkę to wzór idealnie pasuje do obserwacji. Niestety nie potrafił tego uzasadnić na gruncie klasycznych teorii w których ciało promieniowało ciągłym strumieniem energii. Zaproponował więc coś rewolucyjnego – aby uznać, iż ciało promieniuje nie jako jedność a jako skończona liczba niezależnych oscylatorów, które wydzielają energię w wyniku swoich drgań. Taka energia może być wydzielana tylko w pewnych porcjach. Spójrzmy na ilustrację.

Wyobraźmy sobie zegar z wahadłem – tak można sobie wyobrazić taki oscylator w uproszczeniu. Wyobraźmy sobie więc ciało które składa się z dużej ilości takich zegarów. Ich energia nigdy nie będzie mniejsza niż takie „wahnięcie” a może być wielokrotnością gdyż mamy dużo takich wahadeł zachowujących się w ten sam sposób. Takie jedno „wahnięcie” i związaną z tym energię Planck nazwał „kwantem”. Samo słowo pochodzi z łaciny i oznacza „jak dużo” a pojawiało się często przed czasami Plancka w recepturach aptecznych jako Q.S czyli „quantum sufficit” co oznacza „tyle ile wystarczy” i oznaczało by dodać tylko tyle danej substancji ile wywoła dany efekt. Dość naturalne wydaje się być użycie tego pojęcia w kontekście najmniejszej ilości, która powoduje zmianę danego układu. Kwanty promieniowania cieplnego nazwano fotonami.

Z prac Plancka skorzystał Bohr który starał się wyjaśnić obserwacje widm podgrzanych gazów. Zauważono iż widma nie są ciągłe jak w tęczy a pojawiają się w formie ostrych linii.

Wygląda to trochę jakby elektrony mogły znajdować się na określonych orbitach a ich zmiana następował w wyniku pochłonięcia lub wyemitowania kwantu energii – fotonu o określonej wartości. Gdyby te wartości mogły być dowolne to obserwowali byś ciągłe widmo a nie wyraźne linie. Wyobraź sobie że wchodzisz po schodach na piętro – gdybyś był elektronem, to mógłbyś dawać wyłącznie takie kroki po których znajdziesz się od razu na piętrze ale nigdy pomiędzy.

Czyli jak do tej pory wiadomo, iż świat składa się z promieniowania będącego w istocie strumieniem cząstek – fotonów a otaczający nas świat budują atomy składające się z jąder i elektronów grzecznie krążących po orbitach które zmieniają w zależności od przyjętych lub wyemitowanych fotonów. Obraz nad wyraz piękny i gładki. I właśnie ten obraz zaczął niepokoić ludzi takich jak np. Einstein – ale jak zwykle to część kolejnej historii 🙂

Eksperyment Myślowy

popularyzujemy naukę

Tag: Katastrofa w nadfiolecie

Katastrofa w ultrafiolecie…

3. Kwant – czyli tyle ile wystarczy