Pozostałe akty i wpisy na pokrewne tematy

Liczby nie całkiem urojone – historia w trzech aktach. Akt II: Wchodzi Euler
Liczby nie całkiem urojone – historia w trzech aktach. Akt III: Świat zespolony
Patrz też: Nielegalne operacje, czyli wiele hałasu o zero

Cała matematyka jest jednym wielkim eksperymentem myślowym. Kiedy ludzie nauczyli się liczyć, najpierw obracali się w kręgu stosunkowo niewielkich liczb naturalnych, które miały oczywiste zastosowania w życiu codziennym. Następnie zdali sobie sprawę, że system porządkowania i nazywania liczb, który działa w zakresie od 1 do 100 albo do 1000 można dowolnie rozszerzać i że zbiór wszystkich liczb definiowanych w ten sposób nie jest skończony. Z czasem odkryto, że ułamki można traktować podobnie jak liczby całkowite i wykonywać na nich działania arytmetyczne. Matematyka grecka przeżyła kryzys, kiedy się okazało, że istnieją wielkości (jak choćby długość przekątnej kwadratu o boku jednostkowym), których nie da się wyrazić proporcjami liczb całkowitych. Grecy przez kilka stuleci zmagali się z problemem wielkości niewymiernych („niewyrażalnych”, biorąc pod uwagę ograniczenia ówczesnej notacji). Pogodzili się z ich istnieniem, ale traktowali je inaczej niż wielkości „prawdziwe”, czyli odpowiadające ułamkom o liczniku i mianowniku całkowitym. W końcu jednak niewymierność także oswojono.

Na każdym etapie znajdował się ktoś, kto rozumował w następujący sposób: „Wyobraźmy sobie, że L jest nową kategorią liczb, na których spróbujemy wykonywać znane dotychczas operacje. Co z tego wyniknie?” I okazywało się zazwyczaj, że uogólnienie pojęcia liczby upraszcza żmudne operacje i umożliwia rozwiązywanie problemów matematycznych wcześniej niepoddających się analizie. Z czasem odkryto liczby ujemne i zero oraz reguły wykonywania na nich działań. I choć zawsze z początku trzeba się było oswoić z coraz bardziej abstrakcyjnym pojmowaniem „liczby”, po pewnym czasie nikt już nie pytał, czy ułamki, liczby niewymierne lub ujemne, nie wspominając o liczbie zero, są „mniej prawdziwe” niż 1, 2, 3, 4, … Dziś po kursach matematyki na poziomie szkoły średniej nikt raczej nie traktuje √2 albo −3 jako liczb „nie do końca prawdziwych”. Jesteśmy całkowicie oswojeni z interpretacją liczb rzeczywistych w formie „osi liczbowej” i zupełnie nie dziwi nas, że jakaś funkcja może przyjmować wartości ujemne, zerowe lub niewymierne.

A jak jest z liczbami urojonymi i zespolonymi? Choć znane są od kilkuset lat, nadal nie zostały całkowicie oswojone. Opisał je jako pierwszy włoski matematyk Rafael Bombelli w 1572 r. Motywacją była próba zrozumienia tego, co się dzieje w tzw. „przypadku nieprzywiedlnym” wynalezionej w XVI w. metody rozwiązywania równań trzeciego stopnia. W tym przypadku równanie ma trzy rozwiązania (“pierwiastki”) rzeczywiste, ale żeby znaleźć dwa z nich, trzeba wykonać działania, w których występuje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Wiadomo było, że takie pierwiastki kwadratowe nie mogą istnieć, bo każda liczba podniesiona do kwadratu daje wartość nieujemną. Mimo to można było kontunuować wykonywanie obliczeń, udając, że mają one „jakąś tam sobie” fikcyjną wartość (na ten pomysł wpadł wcześniej Gerolamo Cardano). Zawierające je wyrazy we wzorach występują raz z plusem, raz z minusem i po zsumowaniu ulegają redukcji, więc tę fikcyjną wartość można było zignorować. Była potrzebna tylko do wykonania działań, po czym uprzejmie znikała.

Bombelli zauważył, że zamiast traktować trik Cardana jako wybieg formalny, który działa, choć nie bardzo wiadomo dlaczego, można wprowadzić specjalną kategorię liczb – inną niż wszystkie znane uprzednio – o takiej właściwości, że ich kwadrat jest liczbą ujemną. Można je sumować ze zwykłymi liczbami, ale ta suma zawiera dwa wyraźnie odrębne składniki (według dzisiejszej terminologii – część rzeczywistą i część urojoną, pomożoną przez √−1). Bombelli opracował szczegółowe zasady arytmetyki tych liczb, które nazywamy obecnie zespolonymi. Rozumował tak: „Wyobraźmy sobie, że traktujemy √−1 jako prawdziwą liczbę, i sprawdźmy, dokąd nas to zaprowadzi, jeśli będziemy postępować konsekwentnie i zgodnie z logiką”. Był to podobny błysk geniuszu jak te, którym zawdzięczamy traktowanie ułamków jako pełnoprawnych liczb, a nie tylko „proporcji” (Diofantos, II w. n.e.), wprowadzenie kategorii liczb ujemnych i zera jako liczby, a nie tylko pustej pozycji (Brahmagupta, VII w. n.e.) oraz połączenie liczb wymiernych i niewymiernych w uogólnioną, jednolitą kategorię liczb rzeczywistych (średniowieczni matematycy arabscy).

Liczby zespolone okazały się z czasem nieoczekiwanie przydatne, ale przez kolejne sto lat traktowano je nieufnie. Nieufność dotyczyła oczywiście ich składnika „urojonego”. Nazwę tę (po francusku nombre imaginaire) wprowadził w 1637 r. Kartezjusz. Jej zamierzony wydźwięk był pejoratywny, bo zdaniem Kartezjusza liczby te nie odpowiadały żadnym właściwościom obiektów geometrycznych, dlatego w odróżnieniu od liczb „rzeczywistych” były czymś wydumanym i oderwanym od rzeczywistości. W oryginalnym przykładzie rozważanym przez Kartezjusza równanie trzeciego stopnia x³ − 6x² + 13x − 10 = 0 ma trzy pierwiastki. Jeden z nich jest liczbą rzeczywistą, a zatem „prawdziwym” rozwiązaniem. Pozostałe dwa zawierają składniki urojone, więc (aczkolwiek można wykonywać na nich legalnie działania arytmetyczne), należą – zdaniem Kartezjusza – do świata wyobraźni, a nie do rzeczywistości. Istotnie, jeśli narysujemy wykres funkcji f(x) = x³ − 6x² + 13x − 10 w układzie współrzędnych wynalezionym przez Kartezjusza, to przecina on oś X tylko w jednym punkcie, odpowiadającym rozwiązaniu będącemu liczbą rzeczywistą, x₁ = 2. Pozostałych dwóch pierwiastków równania nigdzie nie widać. Wniosek? Istnieją one wyłącznie w bujnej fantazji matematyków. Mimo to można dokładnie obliczyć ich wartości zespolone: x₂ = 2 + √−1 oraz x₃ = 2 − √−1.

Zauważmy, że zarówno suma, jak i iloczyn tych pierwiastków są liczbami rzeczywistymi:

• x₂ + x₃ = 2 + 2 + √−1 − √−1 = 4,
• x₂ × x₃ = 2² − (√−1)² = 4 − (−1) = 5.

Innymi słowy, operując na wartościach „nierzeczywistych” możemy otrzymywać wyniki jak najbardziej rzeczywiste (o czym była już wyżej mowa). Nie przekonało to Kartezjusza, choć jedyne, co mógł zarzucić liczbom zespolonym i ich częściom urojonym, to fakt, że układ współrzędnych kartezjańskich (w wersji klasycznej) z góry zawężał uwagę wyłącznie do dziedziny liczb rzeczywistych i nie było sposobu, żeby za jego pomocą reprezentować wartości zespolone. Wyłącznie dlatego pozostawały – nie z własnej przecież winy – niewidoczne. Jednak z formalnego punktu widzenia nic nie stało na przeszkodzie, żeby w równaniach typu a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀ = 0 zmienna x mogła przyjmować wartości zespolone. Algorytm nadal działał bez zarzutu i „wypluwał” trzy pierwiastki równania, niekoniecznie rzeczywiste. Trzeba było tylko rygorystycznie przestrzegać dość oczywistych reguł poprawnego wykonywania operacji na liczbach zespolonych.

W XVIII w. dokonał się następny przełom w zrozumieniu, do czego mogą się przydać liczby zespolone. Jego głównym bohaterem był Leonhard  Euler, który notabene wprowadził używaną do dziś notację. Zastosował mianowicie symbol „jednostki urojonej” i zamiast mniej poręcznego i nie zawsze jednoznacznego wyrażenia √−1. Liczba i pomnożona przez samą siebie daje wynik −1. Ale nie ona jedna ma tę właściwość, bo (o czym wiedział już Bombelli) również (−i)² = −1. Liczbę zespoloną zapisujemy standardowo jako z = a + bi, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi (nazywanymi odpowiednio częścią rzeczywistą i częścią urojoną liczby z). Jeśli b = 0, to z jest liczbą rzeczywistą. Jeśli a = 0, to z jest liczbą urojoną. Obie te kategorie są szczególnymi przypadkami ogólniejszego pojęcia liczb zespolonych. Liczba 0 jako jedyna należy jednocześnie do liczb rzeczywistych i urojonych. Pierwiastki „nierzeczywiste” równania, o którym wspomniał Kartezjusz, możemy zapisać przejrzyściej jako x₂ = 2 + i oraz x₃ = 2 − i. Tyle wiedzy na początek wystarczy.

O tym zaś, co konkretnie odkrył Euler, opowie akt II.