Złota proporcja, czyli nie wszystko złoto co się świeci

Pragnę wyczulić odbiorców na fałszywe treści zalewające nas z przepaści internetów i wyrobić zmysł krytyczny, nawet wobec Wikipedii. Wcześniej, w trzyczęściowym materiale o fałszowaniu wykresów cz. 1, cz. 2, cz. 3 pokazywałem sposoby przemycania fałszywej narracji za pomocą wykresów w oparciu o prawdziwe dane. Półprawda jest czasem gorsza od ewidentnego kłamstwa ponieważ jest trudniejsza do zweryfikowania ale za to łatwiejsza do zaakceptowania, gdyż w umyśle czytelnika powstaje mozaika prawd różnej “próby”. Mamy z tym do czynienia obecnie, w czasach, kiedy podstawowym źródłem wiedzy jest Wikipedia i media społecznościowe. Nie jesteśmy w stanie łatwo oddzielić prawdy od fałszu, próbujemy to sobie jakoś racjonalizować, katalogować i uśredniać. Nie zawsze się to jednak udaje. To nie jest normalny proces kształcenia ale raczej przyswajanie wysepek informacji (nie wiedzy). Stąd tak powszechne niedoinformowanie, brak podstaw wiedzy dziedzinowej i podatność na dezinformację. Dodatkowo, łatwy dostęp do terabajtów łatwej do przeszukiwania informacji tworzy złudne przeświadczenie o nabyciu kompetencji w danej dziedzinie po przeczytaniu kilkunastu, kilkudziesięciu wpisów internetowych niewiadomej proweniencji.

Zawsze podchodźmy sceptycznie do nowych treści pochodzących ze źródeł o nie do końca potwierdzonej wiarygodności. Zwłaszcza tych, które są sensacyjne, uogólniające albo wręcz burzące naszą dotychczasową wiedzę.

W tym wpisie postaram się obalić mit o wszechobecności złotej proporcji w naszym otoczeniu. Przeglądając źródła na ten temat mogę stwierdzić, że stosunek liczby stron internetowych prezentujących nie podlegające dyskusji przykłady złotej proporcji do liczby stron rzetelnie, krytycznie analizujących to niewątpliwie istniejące zjawisko jest jak 10 do jednego.

Poprzedni wpis Złoty podział, Fibonacci i ten trzeci traktował o ścisłym związku ciągu Fibonacciego ze złotą proporcją czyli liczbą φ oraz dodatkowo prezentował ciąg Lucasa i jego powiązania z tymi dwoma bytami matematycznymi. Pokazałem podstawy matematyczne tych zależności. Są one niepodważalne, jak cała matematyka. Przytoczone zostały też przykłady występowania złotej proporcji w przyrodzie oraz jego zastosowania w rozlicznych dziedzinach ludzkiej twórczości. Nie przeprowadziłem analizy krytycznej więc mogło to zostać zrozumiane w zbyt dosłowny sposób, na przykład, że liczba φ jest dokładnie odwzorowywana w przyrodzie i sztuce, bez żadnych odstępstw ani niedokładności. Tak nie jest. Wejdźmy więc w rolę adwokata diabła i poszukajmy dziury w całym.

Przyroda

Spirala to najczęściej powtarzający się motyw geometryczny w przyrodzie. Układ ziaren słonecznika, łuski szyszki, liście roślin, muszla ślimaka. Nie są to spirale przypadkowe.

W przyrodzie proporcja złotego podziału występuje najczęściej w postaci tzw. złotej spirali. Jeśli na przykład dobrze się przyjrzeć układowi spiral na szyszce czy słoneczniku to widać, że część z nich jest prawo- a część lewoskrętnych. Widać to na Ryc. 1.

Ryc. 1 Łuski szyszki układające się w spirale. Źródło: [1]

Liczba spiral jest też nieprzypadkowa. Są to przeważnie kolejne liczby ciągu Fibonacciego lub ciągu Lucasa. Dla przykładu szyszka posiada 8 spiral skręcających się w jednym kierunku i 13 w kierunku przeciwnym, słonecznik odpowiednio 34 i 55. Należy jednak zauważyć, że taki układ nie jest regułą dla wszystkich roślin, a jedynie dla niektórych.
Alfred Brosseau w 1968 roku zbadał liczbę spiral w 4290 szyszkach z 10 gatunków sosny kalifornijskiej. Liczby z ciągu Fibonacciego znalazł w 98,3% przebadanych szyszek. Badanie powtórzono w 1992 roku w Kanadzie dla 12750 szyszek większej liczby gatunków otrzymując wynik 92%. [6]

Niewątpliwie jest coś na rzeczy. Dlaczego tak się dzieje? Jak pokazano na Ryc. 4 duże znaczenie ma optymalne wykorzystanie miejsca dla rozrastającej się szyszki.

Ciąg Fibonacciego możemy spotkać, i to jest powszechne, w liczbie nowych pędów wyrastających w jednym sezonie wegetacyjnym. Jest to tzw. spiralna filotaksja i dotyczy nowych pędów, liści, gałęzi. Filotaksja zgodna z ciągiem Fibonacciego ma swoje uzasadnienie. Taki sposób rozmieszczenia liści (pędów) zapewnia optymalny dostęp do światła słonecznego i kropel deszczu oraz zapewnia spływanie wody padającej na roślinę w kierunku pnia, a później do korzeni.

Ryc. 2 Źródło: “Odlotowa matematyka” część 2 Zdzisława Głowackiego.

U niektórych roślin kąt między kolejnymi kwiatami lub liśćmi jest tzw. złotym kątem czyli 137,5°. Liczba kwiatów w kwiatostanie często jest także liczbą z ciągu Fibonacciego. Często nie znaczy zawsze. U niektórych roślin liczba kwiatów lub liści jest wartością z innych ciągów podobnych do ciągu Fibonacciego, np. ciągu Lucasa. Oba wymienione ciągi mają jedną wspólną cechę, stosunek kolejnych wartości ciągu jest zbliżony do liczby φ czyli znowu złota proporcja.

Dlaczego tak się dzieje?
Do końca nie wiadomo. Najpopularniejszą teorią jest optymalizacja dostępu do światła i maksymalne wykorzystanie dostępnej przestrzeni. O ile dostęp do światła ma głęboki sens w przypadku układu liści (filotaksja) to kwiaty przeważnie nie przeprowadzają fotosyntezy.

Wspomniana wyżej optymalizacja rzeczywiście ma sens gdyż przeprowadzone symulacje wykazały, że uwzględnienie liczby φ w algorytmie spiralnego rozmieszczenia elementów daje najlepszy stosunek wykorzystanej powierzchni do powierzchni całkowitej.

Poniżej przedstawiam wyniki symulacji takiego rozmieszczenia zgodnie z następującym algorytmem [4]: każdy następny punkt o numerze x jest odległy o √x od środka i obrócony względem poprzedniego o 2*π/z, gdzie z jest liczbą rzeczywistą. Widać, że dla z = √3 zauważalne są regularne spiralne smugi wolnego miejsca. Natomiast podstawiając za z liczbę φ czyli 1,618… wypełnienie przestrzeni jest prawie idealne. Dla liczb naturalnych odwzorowaniem będzie pęk półprostych.

Ryc. 3 Symulacja wypełnienia obszaru, porównanie φ i √3. Źródło [4]

Poniżej przedstawiony jest układ spiral prawo- i lewoskrętnych prowadzonych przez punkty utworzone w wyżej opisanej symulacji z użyciem liczby φ. Jak widać, jest ich 21 i 34 i są to kolejne liczby ciągu Fibonacciego.

Ryc 4. Liczba prawo- i lewoskrętnych spiral przy rozmieszczeniu bazującym na liczbie φ. Źródło: [4]

Struktury spiralne tworzone przez rośliny są wciąż badane przez naukowców. Jednym z pytań jest kwestia pochodzenia takiej a nie innej organizacji elementów rośliny. Początkowo uważano, że spiralne wzory są determinowane genetycznie. Ostatnio jednak przeważa wersja samoorganizacji w trakcie wzrostu rośliny. Odpowiadają za to hormony stymulujące wzrost rośliny – auksyny syntetyzowane w merystemie (stożku wzrostu). Przeprowadzono badania mające na celu skłonienie merystemu rośliny do zmiany sposobu filotaksji w trakcie życia rośliny. Mary i Robert Snow przecięli merystem wierzbownicy kosmatej na dwie części. Roślina, która posługiwała się filotaksją naprzeciwległą zmieniła ją na filotaksję spiralną [1].

Dokładny mechanizm filotaksji nie jest znany i czeka na swojego odkrywcę.

Chciałbym także, częściowo, “rozprawić się” z często cytowanym przykładem istnienia złotej proporcji w świecie zwierząt. Chodzi o muszle ślimaków, szczególnie muszlę łodzika prezentowaną przeze mnie w poprzednim wpisie. Logarytmiczny charakter spirali muszli łodzika jest bezsprzecznie prawdziwy, wynika z potrzeby wzrostu muszli bez zmiany jej kształtu. Jednakże podobieństwo do złotej spirali jest jedynie powierzchowne, nie ma żadnych dowodów na udział liczby φ w procesie jej wzrostu.

Architektura, sztuka, fotografia

Złoty podział jest powszechnie wykorzystywany w architekturze, taka jest obiegowa opinia. A jak jest naprawdę? Charles-Édouard Jeanneret-Gris znany jako Le Corbusier opracował system proporcji architektonicznych na bazie złotego podziału. Ale czy złota proporcja jest tak powszechna w zrealizowanych projektach? Niekoniecznie. Jest wspominana w propozycjach projektowych jako atrakcja, wabik dla klienta, ale z realizacją jest różnie. Przykładem może być rozmowa z prof. Keithem Devlinem [1], który zapytał architektów biorących udział w konkursie architektonicznym, czy używają “złotej proporcji”. Odpowiedź brzmiała “nie, ale znam kogoś, kto używał”.

Równie obiegową opinią na temat złotej proporcji cieszy się Partenon na wzgórzu Akropol w Atenach. Naprawdę trzeba się dobrze napocić, aby znaleźć liczbę φ w proporcjach tej budowli. Niektóre liczby, będące proporcją wybranych (!) wymiarów Partenonu są zbliżone do liczby 1,618…, ale nie znaczy to, że liczba φ była wiodącą w projekcie.

Ryc. 5 “Dowód” na złotą proporcję w Partenonie. Źródło: [3]

Na rycinie 5 przedstawiono najbardziej znany “dowód” na istnienie złotej proporcji w projekcie Partenonu. Nie wiadomo niestety, dlaczego linie podziału wprowadzono w tych a nie innych miejscach. Nawet wybór stopnia schodów dla dolnej linii największego prostokąta, na którym bazują wszystkie pozostałe podziały, wydaje się mocno arbitralny. Nie wspomnę o rzeczywistych proporcjach narysowanych odcinków, jak bardzo są zbliżone do złotej proporcji φ. Linie są grube i proporcje boków w najmniejszych prostokątach z pewnością “nie trzymają” liczby 1,618… Zresztą, kto by to mierzył i liczył? Wystarczy uwierzyć.

Artystą, który wykorzystywał (w popularnym współczesnym przekazie medialnym) w prawie każdym swoim dziele złotą proporcję jest Leonardo da Vinci. Niestety, to mit popkultury. Być może wynika z faktu, że księga Luki Paciolego Divina Proportione była ilustrowana przez Leonarda.
Zarówno Mona Lisa, Zwiastowanie, Ostatnia Wieczerza jak też Człowiek Witruwiański, złotą proporcję mają mocno naciąganą. Duży w tym udział Muzeum Bostońskiego, które na swojej stronie internetowej gorliwie promuje taką właśnie interpretację tych dzieł. Każdy z obrazów posiada wiele punktów odniesienia, na których można oprzeć boki prostokątów. Nie jest więc wielką sztuką wybrać kilka z nich do skonstruowania “złotych” prostokątów albo chociaż zbliżonych do “złotych”.

Ryc. 6 “Dowody” na złotą proporcję Mony Lisy prezentowane przez Museum of Science w Bostonie [5]
Ryc. 7 “Dowody” na złotą proporcję Ostatniej wieczerzy prezentowane przez Museum of Science w Bostonie [5]

Co do Człowieka Witruwiańskiego, jest to ilustracja do księgi Witruwiusza O architekturze ksiąg dziesięć. Witruwiusz opisał proporcje ciała ludzkiego, którymi zaleca posługiwać się architektom i malarzom w następujący sposób [2]:

“Przyroda bowiem w ten sposób stworzyła ciało ludzkie, że czaszka od brody do górnej części czoła i do korzeni włosów wynosi jedną dziesiątą długości ciała; podobnie jedną dziesiątą stanowi odległość od przegubu dłoni do końca średniego palca; głowa od brody do najwyższego punktu czaszki stanowi ósmą część długości ciała; odległość górnej części klatki piersiowej i nasady szyi do korzeni włosów wynosi jedną szóstą, a odległość od środka klatki piersiowej do najwyższego punktu czaszki jedną czwartą.”

Proporcje zastosowane przez Leonarda nie tylko nie zachowują tych zalecanych przez Witruwiusza, ale też trudno wśród nich znaleźć jakąkolwiek zbliżoną do złotej liczby φ. Może oprócz słynnego stosunku wzrostu do wysokości od pępka do podstawy stóp, który też nie jest idealny.

Ryc. 8 “Dowody” na złotą proporcję Człowieka Witruwiańskiego prezentowane przez Museum of Science w Bostonie [5]
Ryc. 8 “Dowody” na złotą proporcję Zwiastowania prezentowane przez Museum of Science w Bostonie [5]

Źródła:

  1. “Rośliny liczą” https://www.projektpulsar.pl/srodowisko/2097379,1,rosliny-licza.read
  2. “Złota proporcja w sztuce. Czy naprawdę jest tak popularna?” https://www.beta-iks.pl/index.php/2021/04/10/zlota-proporcja-w-sztuce/
  3. “Złota proporcja w sztuce. Czy naprawdę jest tak popularna?” https://www.beta-iks.pl/index.php/2021/04/10/zlota-proporcja-w-sztuce/
  4. “Złota liczba” http://www.zobaczycmatematyke.krk.pl/003-golonka-kalwaria/index.html
  5. Museum of Science, Boston https://www.mos.org/leonardo/activities/golden-ratio
  6. Drzewa, ciąg Fibonacciego i złota proporcja https://drzewapolski.blogspot.com/2021/03/drzewa-ciag-fibonacciego-i-zota.html