Kategoria: matematyka

Złota proporcja, czyli nie wszystko złoto co się świeci

Wiesław Seweryn4 komentarze

Pragnę wyczulić odbiorców na fałszywe treści zalewające nas z przepaści internetów i wyrobić zmysł krytyczny, nawet wobec Wikipedii. Wcześniej, w trzyczęściowym materiale o fałszowaniu wykresów cz. 1, cz. 2, cz. 3 pokazywałem sposoby przemycania fałszywej narracji za pomocą wykresów w oparciu o prawdziwe dane. Półprawda jest czasem gorsza od ewidentnego kłamstwa ponieważ jest trudniejsza do zweryfikowania ale za to łatwiejsza do zaakceptowania, gdyż w umyśle czytelnika powstaje mozaika prawd różnej “próby”. Mamy z tym do czynienia obecnie, w czasach, kiedy podstawowym źródłem wiedzy jest Wikipedia i media społecznościowe. Nie jesteśmy w stanie łatwo oddzielić prawdy od fałszu, próbujemy to sobie jakoś racjonalizować, katalogować i uśredniać. Nie zawsze się to jednak udaje. To nie jest normalny proces kształcenia ale raczej przyswajanie wysepek informacji (nie wiedzy). Stąd tak powszechne niedoinformowanie, brak podstaw wiedzy dziedzinowej i podatność na dezinformację. Dodatkowo, łatwy dostęp do terabajtów łatwej do przeszukiwania informacji tworzy złudne przeświadczenie o nabyciu kompetencji w danej dziedzinie po przeczytaniu kilkunastu, kilkudziesięciu wpisów internetowych niewiadomej proweniencji.

Zawsze podchodźmy sceptycznie do nowych treści pochodzących ze źródeł o nie do końca potwierdzonej wiarygodności. Zwłaszcza tych, które są sensacyjne, uogólniające albo wręcz burzące naszą dotychczasową wiedzę.

W tym wpisie postaram się obalić mit o wszechobecności złotej proporcji w naszym otoczeniu. Przeglądając źródła na ten temat mogę stwierdzić, że stosunek liczby stron internetowych prezentujących nie podlegające dyskusji przykłady złotej proporcji do liczby stron rzetelnie, krytycznie analizujących to niewątpliwie istniejące zjawisko jest jak 10 do jednego.

Poprzedni wpis Złoty podział, Fibonacci i ten trzeci traktował o ścisłym związku ciągu Fibonacciego ze złotą proporcją czyli liczbą φ oraz dodatkowo prezentował ciąg Lucasa i jego powiązania z tymi dwoma bytami matematycznymi. Pokazałem podstawy matematyczne tych zależności. Są one niepodważalne, jak cała matematyka. Przytoczone zostały też przykłady występowania złotej proporcji w przyrodzie oraz jego zastosowania w rozlicznych dziedzinach ludzkiej twórczości. Nie przeprowadziłem analizy krytycznej więc mogło to zostać zrozumiane w zbyt dosłowny sposób, na przykład, że liczba φ jest dokładnie odwzorowywana w przyrodzie i sztuce, bez żadnych odstępstw ani niedokładności. Tak nie jest. Wejdźmy więc w rolę adwokata diabła i poszukajmy dziury w całym.

Przyroda

Spirala to najczęściej powtarzający się motyw geometryczny w przyrodzie. Układ ziaren słonecznika, łuski szyszki, liście roślin, muszla ślimaka. Nie są to spirale przypadkowe.

W przyrodzie proporcja złotego podziału występuje najczęściej w postaci tzw. złotej spirali. Jeśli na przykład dobrze się przyjrzeć układowi spiral na szyszce czy słoneczniku to widać, że część z nich jest prawo- a część lewoskrętnych. Widać to na Ryc. 1.

Ryc. 1 Łuski szyszki układające się w spirale. Źródło: [1]

Liczba spiral jest też nieprzypadkowa. Są to przeważnie kolejne liczby ciągu Fibonacciego lub ciągu Lucasa. Dla przykładu szyszka posiada 8 spiral skręcających się w jednym kierunku i 13 w kierunku przeciwnym, słonecznik odpowiednio 34 i 55. Należy jednak zauważyć, że taki układ nie jest regułą dla wszystkich roślin, a jedynie dla niektórych.
Alfred Brosseau w 1968 roku zbadał liczbę spiral w 4290 szyszkach z 10 gatunków sosny kalifornijskiej. Liczby z ciągu Fibonacciego znalazł w 98,3% przebadanych szyszek. Badanie powtórzono w 1992 roku w Kanadzie dla 12750 szyszek większej liczby gatunków otrzymując wynik 92%. [6]

Niewątpliwie jest coś na rzeczy. Dlaczego tak się dzieje? Jak pokazano na Ryc. 4 duże znaczenie ma optymalne wykorzystanie miejsca dla rozrastającej się szyszki.

Ciąg Fibonacciego możemy spotkać, i to jest powszechne, w liczbie nowych pędów wyrastających w jednym sezonie wegetacyjnym. Jest to tzw. spiralna filotaksja i dotyczy nowych pędów, liści, gałęzi. Filotaksja zgodna z ciągiem Fibonacciego ma swoje uzasadnienie. Taki sposób rozmieszczenia liści (pędów) zapewnia optymalny dostęp do światła słonecznego i kropel deszczu oraz zapewnia spływanie wody padającej na roślinę w kierunku pnia, a później do korzeni.

Ryc. 2 Źródło: “Odlotowa matematyka” część 2 Zdzisława Głowackiego.

U niektórych roślin kąt między kolejnymi kwiatami lub liśćmi jest tzw. złotym kątem czyli 137,5°. Liczba kwiatów w kwiatostanie często jest także liczbą z ciągu Fibonacciego. Często nie znaczy zawsze. U niektórych roślin liczba kwiatów lub liści jest wartością z innych ciągów podobnych do ciągu Fibonacciego, np. ciągu Lucasa. Oba wymienione ciągi mają jedną wspólną cechę, stosunek kolejnych wartości ciągu jest zbliżony do liczby φ czyli znowu złota proporcja.

Dlaczego tak się dzieje?
Do końca nie wiadomo. Najpopularniejszą teorią jest optymalizacja dostępu do światła i maksymalne wykorzystanie dostępnej przestrzeni. O ile dostęp do światła ma głęboki sens w przypadku układu liści (filotaksja) to kwiaty przeważnie nie przeprowadzają fotosyntezy.

Wspomniana wyżej optymalizacja rzeczywiście ma sens gdyż przeprowadzone symulacje wykazały, że uwzględnienie liczby φ w algorytmie spiralnego rozmieszczenia elementów daje najlepszy stosunek wykorzystanej powierzchni do powierzchni całkowitej.

Poniżej przedstawiam wyniki symulacji takiego rozmieszczenia zgodnie z następującym algorytmem [4]: każdy następny punkt o numerze x jest odległy o √x od środka i obrócony względem poprzedniego o 2*π/z, gdzie z jest liczbą rzeczywistą. Widać, że dla z = √3 zauważalne są regularne spiralne smugi wolnego miejsca. Natomiast podstawiając za z liczbę φ czyli 1,618… wypełnienie przestrzeni jest prawie idealne. Dla liczb naturalnych odwzorowaniem będzie pęk półprostych.

Ryc. 3 Symulacja wypełnienia obszaru, porównanie φ i √3. Źródło [4]

Poniżej przedstawiony jest układ spiral prawo- i lewoskrętnych prowadzonych przez punkty utworzone w wyżej opisanej symulacji z użyciem liczby φ. Jak widać, jest ich 21 i 34 i są to kolejne liczby ciągu Fibonacciego.

Ryc 4. Liczba prawo- i lewoskrętnych spiral przy rozmieszczeniu bazującym na liczbie φ. Źródło: [4]

Struktury spiralne tworzone przez rośliny są wciąż badane przez naukowców. Jednym z pytań jest kwestia pochodzenia takiej a nie innej organizacji elementów rośliny. Początkowo uważano, że spiralne wzory są determinowane genetycznie. Ostatnio jednak przeważa wersja samoorganizacji w trakcie wzrostu rośliny. Odpowiadają za to hormony stymulujące wzrost rośliny – auksyny syntetyzowane w merystemie (stożku wzrostu). Przeprowadzono badania mające na celu skłonienie merystemu rośliny do zmiany sposobu filotaksji w trakcie życia rośliny. Mary i Robert Snow przecięli merystem wierzbownicy kosmatej na dwie części. Roślina, która posługiwała się filotaksją naprzeciwległą zmieniła ją na filotaksję spiralną [1].

Dokładny mechanizm filotaksji nie jest znany i czeka na swojego odkrywcę.

Chciałbym także, częściowo, “rozprawić się” z często cytowanym przykładem istnienia złotej proporcji w świecie zwierząt. Chodzi o muszle ślimaków, szczególnie muszlę łodzika prezentowaną przeze mnie w poprzednim wpisie. Logarytmiczny charakter spirali muszli łodzika jest bezsprzecznie prawdziwy, wynika z potrzeby wzrostu muszli bez zmiany jej kształtu. Jednakże podobieństwo do złotej spirali jest jedynie powierzchowne, nie ma żadnych dowodów na udział liczby φ w procesie jej wzrostu.

Architektura, sztuka, fotografia

Złoty podział jest powszechnie wykorzystywany w architekturze, taka jest obiegowa opinia. A jak jest naprawdę? Charles-Édouard Jeanneret-Gris znany jako Le Corbusier opracował system proporcji architektonicznych na bazie złotego podziału. Ale czy złota proporcja jest tak powszechna w zrealizowanych projektach? Niekoniecznie. Jest wspominana w propozycjach projektowych jako atrakcja, wabik dla klienta, ale z realizacją jest różnie. Przykładem może być rozmowa z prof. Keithem Devlinem [1], który zapytał architektów biorących udział w konkursie architektonicznym, czy używają “złotej proporcji”. Odpowiedź brzmiała “nie, ale znam kogoś, kto używał”.

Równie obiegową opinią na temat złotej proporcji cieszy się Partenon na wzgórzu Akropol w Atenach. Naprawdę trzeba się dobrze napocić, aby znaleźć liczbę φ w proporcjach tej budowli. Niektóre liczby, będące proporcją wybranych (!) wymiarów Partenonu są zbliżone do liczby 1,618…, ale nie znaczy to, że liczba φ była wiodącą w projekcie.

Ryc. 5 “Dowód” na złotą proporcję w Partenonie. Źródło: [3]

Na rycinie 5 przedstawiono najbardziej znany “dowód” na istnienie złotej proporcji w projekcie Partenonu. Nie wiadomo niestety, dlaczego linie podziału wprowadzono w tych a nie innych miejscach. Nawet wybór stopnia schodów dla dolnej linii największego prostokąta, na którym bazują wszystkie pozostałe podziały, wydaje się mocno arbitralny. Nie wspomnę o rzeczywistych proporcjach narysowanych odcinków, jak bardzo są zbliżone do złotej proporcji φ. Linie są grube i proporcje boków w najmniejszych prostokątach z pewnością “nie trzymają” liczby 1,618… Zresztą, kto by to mierzył i liczył? Wystarczy uwierzyć.

Artystą, który wykorzystywał (w popularnym współczesnym przekazie medialnym) w prawie każdym swoim dziele złotą proporcję jest Leonardo da Vinci. Niestety, to mit popkultury. Być może wynika z faktu, że księga Luki Paciolego Divina Proportione była ilustrowana przez Leonarda.
Zarówno Mona Lisa, Zwiastowanie, Ostatnia Wieczerza jak też Człowiek Witruwiański, złotą proporcję mają mocno naciąganą. Duży w tym udział Muzeum Bostońskiego, które na swojej stronie internetowej gorliwie promuje taką właśnie interpretację tych dzieł. Każdy z obrazów posiada wiele punktów odniesienia, na których można oprzeć boki prostokątów. Nie jest więc wielką sztuką wybrać kilka z nich do skonstruowania “złotych” prostokątów albo chociaż zbliżonych do “złotych”.

Ryc. 6 “Dowody” na złotą proporcję Mony Lisy prezentowane przez Museum of Science w Bostonie [5]
Ryc. 7 “Dowody” na złotą proporcję Ostatniej wieczerzy prezentowane przez Museum of Science w Bostonie [5]

Co do Człowieka Witruwiańskiego, jest to ilustracja do księgi Witruwiusza O architekturze ksiąg dziesięć. Witruwiusz opisał proporcje ciała ludzkiego, którymi zaleca posługiwać się architektom i malarzom w następujący sposób [2]:

“Przyroda bowiem w ten sposób stworzyła ciało ludzkie, że czaszka od brody do górnej części czoła i do korzeni włosów wynosi jedną dziesiątą długości ciała; podobnie jedną dziesiątą stanowi odległość od przegubu dłoni do końca średniego palca; głowa od brody do najwyższego punktu czaszki stanowi ósmą część długości ciała; odległość górnej części klatki piersiowej i nasady szyi do korzeni włosów wynosi jedną szóstą, a odległość od środka klatki piersiowej do najwyższego punktu czaszki jedną czwartą.”

Proporcje zastosowane przez Leonarda nie tylko nie zachowują tych zalecanych przez Witruwiusza, ale też trudno wśród nich znaleźć jakąkolwiek zbliżoną do złotej liczby φ. Może oprócz słynnego stosunku wzrostu do wysokości od pępka do podstawy stóp, który też nie jest idealny.

Ryc. 8 “Dowody” na złotą proporcję Człowieka Witruwiańskiego prezentowane przez Museum of Science w Bostonie [5]
Ryc. 8 “Dowody” na złotą proporcję Zwiastowania prezentowane przez Museum of Science w Bostonie [5]

Źródła:

  1. “Rośliny liczą” https://www.projektpulsar.pl/srodowisko/2097379,1,rosliny-licza.read
  2. “Złota proporcja w sztuce. Czy naprawdę jest tak popularna?” https://www.beta-iks.pl/index.php/2021/04/10/zlota-proporcja-w-sztuce/
  3. “Złota proporcja w sztuce. Czy naprawdę jest tak popularna?” https://www.beta-iks.pl/index.php/2021/04/10/zlota-proporcja-w-sztuce/
  4. “Złota liczba” http://www.zobaczycmatematyke.krk.pl/003-golonka-kalwaria/index.html
  5. Museum of Science, Boston https://www.mos.org/leonardo/activities/golden-ratio
  6. Drzewa, ciąg Fibonacciego i złota proporcja https://drzewapolski.blogspot.com/2021/03/drzewa-ciag-fibonacciego-i-zota.html

Złoty podział, Fibonacci i ten trzeci

Wiesław Seweryn11 komentarzy

Ucząc się matematyki nie zawsze zauważamy związki łączące różne jej elementy. Co dopiero, jeśli związki te nie są widoczne i oczywiste. A przecież matematyka, przynajmniej ta szkolna, klasyczna, opiera się na niewielu niezależnych i niepowiązanych aksjomatach; reszta to “tylko” piramida dowodów. Poniżej przedstawię złoty podział, jego zastosowania oraz związek złotego podziału z ciągiem Fibonacciego. Jako ciekawostkę pokażę też mniej znany ciąg Lucasa i jego bliskie pokrewieństwo z ciągiem Fibonacciego i złotym podziałem. Trzy różne, znane ze słyszenia byty, których nie podejrzewalibyśmy o tak ścisły związek. Powiązanie tych trzech pojęć niech będzie wytłumaczeniem nieco pokrętnego i zwodniczego tytułu tego artykułu.

Wspomniałem o aksjomatach. Podwaliny pod teorię modeli – dział logiki matematycznej zajmujący się badaniem własności modeli teorii aksjomatycznych i zależności między nimi położyli w latach 30-tych XX wieku Alfred Tarski i Kurt Gödel. Kurta Gödla nie trzeba przedstawiać. Logik Alfred Tarski to członek filozoficznej Szkoły Lwowsko-Warszawskiej, której należy się osobny wpis z racji przynależności do niej m.in. Tadeusza Kotarbińskiego i Władysława Tatarkiewicza.

Proporcje rządzą światem? Coś w tym jest. Szukamy harmonii w chaosie. Złota proporcja, inaczej złoty podział, boska proporcja, złota liczba, środek Fidiasza, liczba φ (greckie phi, od Fidiasza), 1,6180339887498948482… Wszyscy ją znamy, wiemy, że jest używana w architekturze, malarstwie, muzyce, nie gardzi nią przyroda, wręcz uwielbia. Dlaczego?

Złota liczba nie wzięła się znikąd, nie została ustanowiona królewskim dekretem ani objawiona w dziełach religijnych. Została odkryta i była badana już w starożytności przez Pitagorasa i Euklidesa w związku z jej występowaniem w figurach geometrycznych, a w szczególności w pentagramie i pentagonie (pięciokącie). Elementy Euklidesa opisują ją tak: “Prosta linia jest podzielona w złoty sposób, gdy stosunek całej linii do większego odcinka jest równy stosunkowi większego do mniejszego”. Kilka euklidesowych twierdzeń i dowodów zamieszczonych w Elementach wykorzystuje tę proporcję. Fidiasz wykorzystywał złoty podział przy rzeźbieniu figur zdobiących Partenon na ateńskim Akropolu.

Ryc. 1 Partenon. Fasada wschodnia. Licencja Creative Commons

Złota liczba jest także charakterystyczną cechą, jedną z konsekwencji ciągu Fibonacciego. Leonardo z Pizy znany jako Leonardo Fibonacci, Filius Bonacci (syn Bonacciego), Leonardo Pisano (z Pizy), wspomniał o niej w swoim dziele Liber abaci (1202 r.).

Ciąg Fibonacciego tworzymy w następujący sposób:

  • pierwsze dwa elementy to 0 i 1
  • każdy następny element jest sumą dwóch elementów poprzednich. Ciąg Fibonacciego wygląda następująco: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 i tak dalej.
    Jeśli podzielimy każdy wyraz ciągu, poczynając od trzeciego, przez wyraz poprzedni, to wartość tego ilorazu będzie coraz bliższa liczbie φ. Mamy więc ścisły związek matematyczny między złotym podziałem a ciągiem Fibonacciego.

Współczesna historia złotej liczby oraz jej zastosowanie w sztuce i architekturze zaczyna się od XVI-wiecznego dzieła De divina proportione Luca Pacioliego z 1509 roku. XVI-wieczny niemiecki astronom i matematyk Johannes Kepler napisał: „Geometria ma dwa wielkie skarby: jednym z nich jest twierdzenie Pitagorasa, a drugim podział odcinka w złoty sposób; pierwszy z nich możemy porównać do złota, a drugi do drogocennego klejnotu”. Oba te “skarby” możemy zobaczyć w tzw. trójkącie Keplera. Tu mała dygresja. Tak zwany trójkąt egipski to trójkąt prostokątny, w którym długości boków tworzą ciąg arytmetyczny 3: 4: 5. Trójkąt Keplera to jedyny trójkąt prostokątny, gdzie długości boków są ciągiem geometrycznym 1: √φ: φ.

Ryc. 2 Trójkąt Keplera. Licencja Creative Commons

Liczba φ jest liczbą niewymierną, ale w odróżnieniu od innej, bardziej znanej liczby niewymiernej – liczby π (pi), istnieje dokładny wzór matematyczny na obliczenie jej wartości: (1 + √5)/2. To jedno z dwóch rozwiązań równania kwadratowego φ2 – φ – 1 = 0 wynikającego z zasady tworzenia ciągu Fibonacciego. Liczba φ posiada pewne magiczne właściwości zawarte we wzorach:
φ2 = φ + 1
1/φ = φ – 1
Wspomniałem wcześniej o badaniu występowania liczby φ przez Pitagorasa i Euklidesa w pentagramie i pentagonie. Rysunek poniżej jest ilustracją złotej proporcji zawartej w tych figurach. Dla pentagonu φ = b/a, dla pentagramu φ = a/b = b/c = c/d.

Ryc. 3 Pentagon i pentagram a liczba φ.
Źródło: https://home.agh.edu.pl/~zobmat/2022/jung_oskar/geometry.html

Jeszcze jedno “złotko” związane ze złotym podziałem. Jest to złoty kąt, który jest kątem, który powstaje w wyniku podziału obwodu okręgu na dwa łuki, których długości są ze sobą w proporcji φ. Jego miarą jest 137,5∘ lub 2,399964 rad. Złoty kąt występuje często w przyrodzie, zwłaszcza w filotaksji (ulistnieniu) roślin.

Ciąg Lucasa

Ciąg Fibonacciego nie jest wyjątkowy. Jako pierwsze elementy tego ciągu wybraliśmy arbitralnie 0 i 1. Jeśli wybierzemy na przykład liczby 2 i 1 oraz zachowamy regułę obliczania następnych wyrazów ciągu otrzymamy tzw. ciąg Lucasa, którego elementy będą różniły się od elementów ciągu Fibonacciego: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, …
Ciąg jak ciąg, co w tym wyjątkowego?
Jak pamiętamy stosunek wartości n-tej ciągu Fibonacciego do wartości (n-1) dąży do liczby φ. Prawidłowość ta występuje także w ciągu Lucasa, ale … jest jeszcze coś. Jeśli wartość liczby φ zaczniemy podnosić do kolejnych potęg całkowitych, to otrzymane liczby, po zaokrągleniu, dadzą nam kolejne wyrazy ciągu Lucasa. Mamy więc także zależność odwrotną: z liczby φ otrzymujemy kolejne wyrazy ciągu.

To nie wszystko. Oba ciągi są ze sobą ściśle powiązane. Suma dowolnych dwóch, różniących się o 1 wyrazów ciągu Fibonacciego daje nam wyraz ciągu Lucasa. Na rysunku poniżej 2+5=7, 5+13=18, 8+21=29.

Uff. Wzory mamy za sobą. Czas na prezentację praktycznych zastosowań złotej proporcji.

Przyroda

W przyrodzie ciąg Fibonacciego i proporcja złotego podziału występuje najczęściej w postaci tzw. złotej spirali lub złotego kąta. Złota spirala to krzywa narysowana na bazie prostokąta podzielonego na kwadraty, których boki są kolejnymi liczbami ciągu Fibonacciego.

Ryc. 4 złota spirala. Licencja CC BY 3.0

Spiralny zwój muszli łodzika (Nautilus pompilius) rozszerza się zgodnie z proporcjami spirali logarytmicznej. Złota spirala jest spiralą logarytmiczną, więc często muszlę łodzika podaje się jako przykład złotej proporcji. Co do zasady – tak, to prawda, co do dokładności odwzorowania – niekoniecznie. Natura nie jest perfekcyjna, w formowaniu muszli maja udział także inne czynniki, nie tylko reguły wzrostu.

Ryc. 5 Muszla łodzika

Galaktyki spiralne mają kształt łudząco podobny do złotej spirali.

Ryc. 6 Galaktyka spiralna M51. Źródło: https://www.euroscientist.com/applied-mathematics/ Własność: NASA i The Hubble Heritage Team (STScI/AURA)

Okazuje się, że ciąg Fibonacciego występuje też w świecie roślin. Liczba pędów krwawnika w kolejnych miesiącach jest zgodna z tym ciągiem. Podobnie inne rośliny, na przykład drzewa. Jest to związane z optymalizacją dostępu liści do światła słonecznego. Spiralna filotaksja (ulistnienie) zgodna z ciągiem Fibonacciego gwarantuje minimalizację zasłaniania jednych liści przez drugie. Kąt dywergencji między kolejnymi kwiatostanami jest u większości roślin złotym kątem.

Ryc. 7 Kąt dywergencji między kolejnymi kwiatostanami. Licencja CC BY-SA 3.0

Architektura, sztuka, fotografia

Złoty podział jest wykorzystywany w architekturze, malarstwie, fotografii, grafice do projektowania miłych dla oka proporcji. Le Corbusier opracował system proporcji wielkości poszczególnych elementów budowli oparty na liczbie φ. Schemat tego podziału jest przedstawiony jako postać człowieka z podniesioną ręką.

Ryc. 8 Schemat Le Corbusiera oparty na złotym podziale. Licencja CC BY 2.0

Złoty podział był wykorzystany przy budowie wielu znanych obiektów: egipskich piramid, greckiego Partenonu, Wieży Eiffla, Katedry Notre Dame, Tadż Mahal. Leonardo da Vici czerpał z niego garściami tworząc Narodziny Wenus, Wenus z Milo, Ostatnią Wieczerzę czy portret Mony Lisy. Słynny Człowiek witruwiański zawiera wiele proporcji zgodnych ze złotym podziałem.

Ryc. 9 Człowiek witruwiański (Vitruvian Man). Licencja: domena publiczna

I to by było na tyle…

Jeśli artykuł podobał się i chciałbyś/chciałabyś go polecić, możesz to zrobić tu:

https://wykop.pl/link/7122395/zloty-podzial-fibonacci-i-ten-trzeci
 

Liczby nie całkiem urojone – historia w trzech aktach. Akt III: Świat zespolony

Piotr GąsiorowskiLeave a comment

Pozostałe akty i wpisy na pokrewne tematy

Liczby nie całkiem urojone – historia w trzech aktach. Akt I: Początki
Liczby nie całkiem urojone – historia w trzech aktach. Akt II: Wchodzi Euler
Patrz też: Nielegalne operacje, czyli wiele hałasu o zero

Po opisanych w akcie II odkryciach Eulera stało się jasne, że nie tylko można, ale warto badać pozornie skomplikowane funkcje o argumentach urojonych i zespolonych. Czy na przykład wyrażenie cos ix ma sens, gdy x jest liczbą rzeczywistą? Owszem, ma. Co więcej, jak łatwo sprawdzić, podstawiając ix zamiast x w rozwinięciu funkcji cosinus w szereg Maclaurina, wartość cos ix jest rzeczywista!

  • cos ix = 1 − (ix2 ∕ 2!) +  (ix4 ∕ 4!) − (ix6 ∕ 6!) + … = 1 + (x2 ∕ 2!) +  (x4 ∕ 4!) + (x6 ∕ 6!) + …

Mało, że otrzymujemy funkcję o wartościach rzeczywistych, to jest ona równa funkcji zwanej cosinusem hiperbolicznym: cosh x = ½ (ex + e−x). Nietrudno też dowieść, że cosh ix = cos x. Oznacza to możliwość przechodzenia w tę i z powrotem między światami funkcji trygonometrycznych a wykładniczych dzięki sekretnym tunelom przebitym przy użyciu liczb urojonych. Możliwość ta jest bardzo atrakcyjna, bo działania na funkcjach wykładniczych bywają o wiele łatwiejsze niż na trygonometrycznych. A kiedy raz już wpuścimy liczby zespolone do teorii funkcji i zaczniemy badać funkcje, których argumenty, współczynniki i wartości są liczbami zespolonymi, okazują się one tak użyteczne, że nie sposób się bez nich obyć. Zwykła analiza matematyczna staje się analizą zespoloną.

W roku 1799 duńsko-norweski matematyk Caspar Wessel zaproponował wyjątkowo użyteczny sposób wizualizacji liczb zespolonych. Na płaszczyźnie wykreślamy układ współrzędnych, w którym jedna oś reprezentuje część rzeczywistą, a druga część urojoną liczby zespolonej. Te dwie współrzędne określają punkt na płaszczyźnie, który utożsamiamy z liczbą zespoloną. Właściwie zamiast pisać z = x + iy moglibyśmy reprezentować liczbę zespoloną w postaci pary współrzędnych: z = [x, y]. Jest jeszcze inny sposób określenia położenia punktu na płaszczyźnie: można podać jego odległość od środka układu współrzędnych, √(x2 + y2) (jest to tak zwana wartość bezwzględna liczby zespolonej, zapisywana jako |z|) oraz kąt φ, jaki tworzy z osią X linia łącząca punkt [x, y] ze środkiem układu współrzędnych. Łatwo zauważyć, że sin φ = y ∕ |z|, a cos φ = x ∕ |z| (to wynika z geometrycznej interpretacji tych funkcji). A zatem:

  • x = |z| cos φ, y = |z| sin φ,
  • z = x + iy = |z| (cos φ + i sin φ) = |z| eiφ  (patrz wzór Eulera).

Wartość bezwzględna wyrażenia cos φ + i sin φ wynosi zawsze 1, bo cos2 φ + sin2 φ = 1 dla każdego φ. Czyli wartość zespolona wyrażenia eiφ (liczba e podniesiona do dowolnej potęgi urojonej) przedstawiona na płaszczyźnie zespolonej zawsze leży na okręgu o promieniu 1, którego środkiem jest punkt przecięcia się osi współrzędnych. Podnieść e do potęgi urojonej iφ to to samo, co wykonać wzdłuż tego okręgu obrót o kąt φ wokół środka układu, startując od osi X i poruszając się odwrotnie do ruchu wskazówek zegara.

Wartości funkcji eiφ na okręgu jednostkowym płaszczyzny zespolonej. Skróty Re (real) i Im (imaginary) oznaczają część rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej. Źródło: Wikimedia (licencja CC BY-SA 3.0).

Kiedy mnożymy przez siebie dwie liczby zespolone, możemy uzyskać wynik, mnożąc przez siebie ich wartości bezwzględne i dodając odpowiadające im kąty. Jeśli obie wartości bezwzględne wynoszą 1, to mnożenie polega tylko na składaniu obrotów (dodawaniu kątów). Jeśli liczba z1 jest wyrażona wzorem cos φ1 + i sin φ1, a liczba z2 wzorem cos φ2 + i sin φ2, to ich iloczyn z1z2 jest równy cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2). Podniesienie jakiejkolwiek liczby postaci eiφ do potęgi k oznacza pomnożenie jej przez samą siebie k razy, czyli wykonanie k obrotów o kąt φ (albo, co na jedno wychodzi, jednego obrotu o kąt kφ) po okręgu jednostkowym. W taki to sposób możemy przekształcenia geometryczne (obroty) zakodować za pomocą prostych działań wykonywanych na liczbach.

Stąd niedaleko do spostrzeżenia, że np. wszystkie rozwiązania zespolone równania zn = 1 (tak zwane „pierwiastki z jedynki”) rozłożone są na okręgu o promieniu 1 jako wierzchołki n-kąta foremnego. Jest ich n, a jedno z nich jest równe 1. Opisuje je równanie zk = e2πi (k ∕ n), gdzie k = 0, 1, …, n − 1. Na przykład pierwiastkami czwartego stopnia z jedynki są liczby 1, i, −1, −i, tworzące wierzchołki kwadratu. Każda z nich podniesiona do potęgi czwartej daje w wyniku 1, a dwie z nich są rzeczywiste. Pierwiastkami trzeciego stopnia z jedynki są liczby 1, −½ + i (√3) ∕ 2 oraz −½ − i (√3) ∕ 2, tworzące wierzchołki trójkąta równobocznego. Tylko pierwsza z nich jest rzeczywista, ale wszystkie spełniają równanie z3 = 1.

Siedemnaście liczb zespolonych – pierwiastków siedemnastego stopnia z jedynki, czyli rozwiązań równania z17 = 1. Wygenerowane za pomocą aplikacji Roots of Unity, GeoGebra (licencja CC BY-SA). Dygresja: Carl Friedrich Gauss w wieku 19 lat udowodnił, że siedemnastokąt foremny można skonstruować za pomocą cyrkla i linijki.

Jest to bardzo szczególny przypadek tzw. podstawowego twierdzenia algebry, które mówi, że każdy wielomian n-tego stopnia o współczynnikach zespolonych ma n pierwiastków (z których niektóre mogą być sobie równe, czyli tworzyć łącznie pierwiastek wielokrotny). Sformułujmy to inaczej: każdy taki wielomian można przedstawić w postaci c(z − z1)(z − z2) … (z − zn), gdzie liczby c, z1, z2, …, zn są zespolone. Jednym z ojców tego twierdzenia był „książę matematyków” Carl Friedrich Gauss (1777–1855), który w roku 1799 poświęcił jego udowodnieniu swoją pracę doktorską. W świecie liczb zespolonych nie ma zatem nierozwiązywalnych równań wielomianowych (czyli wielomianów nieposiadających ani jednego pierwiastka), podczas gdy w dziedzinie rzeczywistej często się to zdarza.

Ten fakt okazuje się ważny w teorii równań różniczkowych n-tego stopnia, które rozwiązuje się za pomocą tzw. wielomanów charakterystycznych (także n-tego stopnia). W zależności od tego, czy pierwiastki wielomianu charakterystycznego są rzeczywiste, urojone czy zespolone, jednokrotne czy wielokrotne, w rozwiązaniu równania pojawiają się kombinacje liniowe funkcji wykładniczych o podstawie ujemnej lub dodatniej, sinusów, cosinusów, iloczynów funkcji wykładniczej z kombinacjami sinusów i cosinusów, a także iloczynów potęg xk z którąkolwiek z wymienionych funkcji. W zjawiskach naturalnych opisywanych przez typowe równania różniczkowe (gdzie zmienną jest np. czas) takie właśnie funkcje odgrywają dominującą rolę. Reprezentują one wykładniczy wzrost lub zanikanie jakiejś wielkości fizycznej, ruch falowy, oscylacje zwykłe, wzmacniane, tłumione itp.

Liczby zespolone, płaszczyzna zespolona i równanie Eulera zwykle widnieją gdzieś w tle, gdy mowa o równaniach falowych (umożliwiają bowiem operowanie liczbami, które wyrażają jednocześnie amplitudę i fazę), grupach obrotów, drganiach lub sygnałach okresowych. Mają zastosowanie w teorii obwodów elektrycznych prądu zmiennego (impedancja zespolona pozwala w jednolity sposób traktować rezystancję opornika, pojemność kondensatora i indukcyjność cewki, co znakomicie ułatwia obliczenia), w elektrodynamice, elektronice, teorii sterowania, akustyce, informatyce, a zwłaszcza w fizyce kwantowej: zachowanie układów kwantowych opisywane jest przez wartości funkcji falowej dla danych wielkości, czyli tak zwane amplitudy prawdopodobieństwa, będące z natury, a nie na mocy konwencji ułatwiających rachunki, liczbami zespolonymi. W tym przypadku liczby zespolone wprowadzamy nie dla wygody, ale z konieczności.

Carl Friedrich Gauss, jeden z uczonych, którzy przyczynili się do rozwoju analizy zespolonej (płaszczyzna zespolona bywa nazywana płaszczyzną Gaussa, choć to nie on ją wymyślił), początkowo z pewnym oporem wewnętrznym podchodził do używania liczb zespolonych w dowodach matematycznych. Zwlekał nawet z publikacją niektórych własnych prac na ten temat, obawiał się bowiem, że przypięta przez Kartezjusza łatka „urojona” może przeszkadzać w akceptacji wyników. W roku 1831 zauważył z goryczą, że nie należało przyjmować dla żadnej kategorii liczb określeń, które wywołują skojarzenia negatywne. Na płaszczyźnie zespolonej oś, na której leży i, jest prostopadła do osi liczb rzeczywistych. Gdyby wobec tego mówić np. o „jednostce bocznej” (laterale Einheit), zamiast o „jednostce urojonej” (imaginäre Einheit), to nikt by się nie krzywił na jej używanie. Niestety rozsądne propozycje terminologiczne Gaussa nie przyjęły się i na liczbach urojonych dotąd ciąży klątwa Kartezjusza.

Nie zmienia to faktu, że liczby zespolone są ciekawymi obiektami matematycznymi, jedną z fundamentalych kategorii matematyki współczesnej, a w wielu zastosowaniach bardzo ułatwiają opis matematyczny rzeczywistego świata. Bywają wręcz niezastąpione, bo nie wydaje się, żeby można je było wyeliminować np. z równania Schrödingera. Dlatego chyba lepiej się pogodzić z tym, że żyjemy w świecie zespolonym, i spróbować zrozumieć, co to właściwie oznacza.