Matematykiem jest, kto umie znajdować analogie między twierdzeniami; lepszym, kto widzi analogie dowodów; jeszcze wyższym, kto dostrzega analogie teoryj; a można sobie wyobrazić takiego, co między analogiami widzi analogie.

(z rozmowy Stefana Banacha z Hugonem Steinhausem)

Nie każdy jest biegły w rachunkach. „Z matematyki byłem kiepski”. Stosunek do matematyki szkolnej zawsze był co najmniej lekceważący. Prawda jest taka, że przedmioty ścisłe, w odróżnieniu od tak zwanej „humanistyki”, wymagają systematyczności i nie pozostawiają zbyt wiele miejsca na dowolność interpretacji. Nie zrozumiesz całek bez znajomości pochodnych, a pochodnych bez znajomości funkcji, równań i wielomianów. 

Sprowadzanie matematyki jedynie do rachunków, liczb, równań i wzorów jest myśleniem błędnym i szkodliwym. Nie bez powodu matematyka jest nazywana królową nauk. „Zmatematyzować” można wszystko dookoła, nawet piękno i sztukę. Poczucie estetyki, kompozycja, rytm i harmonia to też matematyka i aby to potwierdzić przypomnę tekst „Złoty podział, Fibonacci i ten trzeci” o matematycznej naturze świata przyrody. Obserwowany ostatnio błyskawiczny rozwój sztucznej inteligencji to także matematyka, ta abstrakcyjna, której wierzchołkiem jest teoria kategorii – temat omawianej książki. 

Nauka matematyki przypomina drabinę nabywania kolejnych „wtajemniczeń”. Zaczynamy od tabliczki mnożenia i arytmetyki. Większość z nas na tym kończy edukację matematyczną nawet nie zdając sobie sprawy z tego, że to dopiero dwa z sześciu matematycznych wtajemniczeń. Kolejne, trzecie, to geometria i algebra oraz podstawy analizy matematycznej, podstawa nauczania matematyki w wyższych klasach szkoły podstawowej i w szkole średniej. Tylko nieliczni maturzyści mają do czynienia z rachunkiem różniczkowym i całkowym, szczeblem czwartym. Tenże rachunek różniczkowy jest podstawą programu matematyki w szkołach wyższych. I to już właściwie koniec klasycznej edukacji matematycznej. 

Ale świat matematyki nie kończy się na tym, co uważamy za szczyt matematycznego wyrafinowania: liczbach zespolonych, całkach i całym tym aparacie pojęciowym przydatnym inżynierom, konstruktorom i projektantom. Przecież cała (prawie) matematyka nauczana w szkołach to dzieło matematyków starożytnych, średniowiecznych, epoki Renesansu i Oświecenia. Czyżby więc matematyka stanęła w miejscu w XVIII wieku?

Nowoczesna matematyka to geometria nieeuklidesowa, teoria mnogości i różne rodzaje nieskończoności, analiza funkcjonalna, cybernetyka, topologia, algebra abstrakcyjna, teoria grup, teoria liczb, kryptologia i wiele innych. 

Jako miłośnik poloników pragnę przypomnieć o Lwowskiej Szkole Matematycznej, jednym z najważniejszych ośrodków matematycznych w Europie w okresie międzywojennym (1918–1939). Jej działalność koncentrowała się głównie na analizie funkcjonalnej, teorii prawdopodobieństwa oraz podstawach matematyki. Ośrodek ten działał wokół Uniwersytetu Jana Kazimierza we Lwowie, a jego członkowie często spotykali się w słynnej Kawiarni Szkockiej, gdzie prowadzili intensywne dyskusje naukowe. Wystarczy wymienić Stefan Banacha (1892–1945) – jednego z twórców analizy funkcjonalnej, Hugona Steinhausa (1887–1972) – jednego z pierwszych matematyków badających zastosowania probabilistyki w analizie matematycznej (metoda Monte Carlo), Kazimierza Kuratowskiego (1896–1980) – pioniera topologii czy Stanisława Ulama (1909–1984), który zastosował metodę Monte Carlo do komputerowego modelowania procesów jądrowych (bomba termojądrowa).

Na szczycie matematycznej abstrakcji znajduje się teoria kategorii. I o niej właśnie jest TA książka, czyli Radość z abstrakcji Eugenii Cheng.

Matematyka abstrakcyjna i teoria kategorii

Jedną z przyczyn niechęci do matematyki jest przekonanie, że zadanie matematyczne ma tylko jedno rozwiązanie (no, czasem parę) i operuje na liczbach, które są z natury zimne i bezlitosne, a odpowiedzi dzielą się na właściwe i niewłaściwe, tertium non datur. 

Matematyka abstrakcyjna jest inna. Naprawdę! Pomimo że dalej jest to matematyka, matematyka abstrakcyjna jest bardziej “rozmyta”, ogólna i dopuszcza własne interpretacje. Ba, czyni z nich całkiem poważny atrybut swojego jestestwa. Posiada także bogaty zbiór specyficznych terminów, z których o większości nawet nie słyszeliśmy. Operuje na obiektach matematycznych, takich jak kształty, powierzchnie, przestrzenie i inne struktury, wydawałoby się, niezupełnie matematyczne. Ale, może zacznijmy od abstrakcji. Abstrahowanie to ignorowanie szczegółów, uogólnianie przy zachowaniu reguł logiki. Oznacza to, że możemy tworzyć i przetwarzać powiązania między różnymi bytami, sytuacjami lub zjawiskami, pozornie niepowiązanymi. Dzięki takiemu podejściu możemy zrozumieć więcej i głębiej niż wtedy, kiedy analizujemy precyzyjnie określone zjawiska. Dotychczas widzieliśmy drzewa nie widząc lasu. Dzięki abstrakcji zauważamy las, jego cechy, strukturę i interakcje z innymi lasami i abstrakcjami w rodzaju fauny albo flory zamieszkującej ten las. Brzmi to trochę górnolotnie i wygląda jaki filozofia, a nie jak matematyka, ale proszę mi wierzyć (a najlepiej sprawdzić w książce), istnieje pokaźny aparat matematyczny i zbiór definicje, które są w stanie precyzyjnie operować tym, wydawałoby się, chaosem.

Jednym z najważniejszych pojęć związanych z abstrakcją jest analogia, czyli pozbywanie się niepotrzebnych szczegółów i znajdywanie cech wspólnych pozwalających zakwalifikować dwa zjawiska do jednej kategorii. Takie działanie pozwala stworzyć model co prawda nieco oderwany od obiektów składowych, ale za to posiadający zakodowaną w sobie całkiem nową logikę, którą można matematycznie przetwarzać.

Do czego teoria kategorii może się przydać?

No właśnie. Tworzymy nowy, skomplikowany aparat pojęciowy oparty na abstrakcji i uogólnianiu. Czy może mieć on jakieś zastosowanie praktyczne?

Odpowiedź brzmi: tak, zwłaszcza teraz, kiedy przetwarzamy coraz większe ilości informacji, coraz bardziej nieuporządkowanej, niestrukturalnej, chaotycznej. Przetwarzamy słowa i zdania, tysiące obrazów, nieruchomych i ruchomych, rozpoznajemy twarze i przypadkowo powstałe sytuacje. Tworzymy duże modele językowe (LLM) i zastanawiamy się nad wykorzystaniem ich w normalnym, analogowym życiu. 

Jeśli tego nie zauważyłeś, drogi Czytelniku, to podpowiadam: teoria kategorii może dostarczyć (i dostarcza) aparat pojęciowy nowoczesnym metodom uczenia maszynowego i deep learningu, zwłaszcza opisywaniu i analizowaniu skomplikowanych modeli językowych.

O czym jest ta książka?

Książka jest o teorii kategorii. Jest to stosunkowo młody dział matematyki, opracowany w latach 40. XX wieku przez Eilenberga i Mac Lane’a. Spośród wielu jej zastosowań chyba najważniejszym jest informatyka jako spoiwo nauk „klasycznych” jak fizyka, chemia, biologia, astronomia, astrofizyka. teoria sterowania, ogólnie pojęta inżynieria, a nawet (a może przede wszystkim, zależy od punktu widzenia) językoznawstwo. Diagram zamieszczony w książce ukazuje różnicę położenia teorii kategorii w ogólnie pojętej nauce między drugą połową XX wieku (Ryc. 1. koncentryczne orbity z teorią kategorii w środku), a współczesnym jej widzeniem (Ryc. 2. teoria kategorii oczywiście w środku, pozostałe nauki tworzą jedną orbitę). 

Dlaczego tak się dzieje? Moim zdaniem „winny” jest rozwój informatyki i teorii informacji, a ostatnio sztucznej inteligencji. Następuje zanik granic między formalizacją wiedzy z różnych dziedzin, a język (jako medium komunikacji) okazuje się się podatny na przetwarzanie w kategoriach czysto abstrakcyjnych. Teoria kategorii nadaje się do tego znakomicie, do systematyzacji, syntezy, przetwarzania, wnioskowania. Dostarcza aparat pojęciowy, który umożliwia twórczo przetwarzać ogrom zalewającej nas informacji. 

Dla kogo jest ta książka?

Jak pisze Autorka, książka jest przeznaczona dla wszystkich tych, którzy zniechęcili się do matematyki i teraz tego gorzko żałują. Obawiają się tylko, że, jeśli będzie ona przedstawiona w odpowiedni sposób, znowu się zniechęcą, tym razem na zawsze. Oczywiście naturalnymi adresatami są też pasjonaci matematyki pragnący poszerzyć swoją wiedzę. Wielkim plusem tej książki jest brak wymogu posiadania czystego wykształcenia matematycznego, bo żeby zrozumieć „ducha” matematycznej abstrakcji, nie jest ono warunkiem koniecznym. 

Jeszcze parę słów o książce i Autorce

Ostrzegam, nie jest to książka do czytania po kilkadziesiąt stron przed snem. Dzięki talentowi Autorki do tłumaczenia trudnych tematów prostym językiem możemy dość łatwo przekroczyć największą przeszkodę, czyli zrozumieć tło i kontekst omawianych zagadnień, a także, dzięki doskonale dobranym przykładom, wyobrazić sobie o czym jest mowa. A chyba największą pochwałą dla tłumaczącego jest usłyszenie cichego okrzyku Czytelnika: „Aha, teraz rozumiem! To wcale nie takie trudne!”.

Minusy? Na pewno pewna oszczędność edytorska, nie najlepszy papier, blady druk. Ot, typowa „pewuenowska” książka znośnej, ale PRL-owskiej jakości, za to w rozsądnej cenie. Ale zawartość – prima sort. 

Autorka, dr Eugenia Cheng jest matematyczką, popularyzatorką, felietonistką oraz pianistką i kompozytorką. A przede wszystkim pasjonatką. Książka Beyond Infinity, opublikowana w 2017 roku znalazła się na krótkiej liście do nagrody Royal Society Insight Investment Science Book Prize 2017, The Art of Logic została opublikowana przez Profile and Basic Books w 2018 roku, a „ x + y : A Mathematician’s Manifesto for Rethinking Gender”. Radość z abstrakcji (tyt. oryg. The Joy of Abstraction: A Exploration of Math, Category theory, and Life, 2022) jest jej przedostatnią książką.

Podsumowując: gorąco polecam. Matematyka poszerza horyzonty, a książka “Radość z abstrakcji” dodaje do tej szerokości jeszcze dodatkowy wymiar – głębokość.

Eugenia Cheng „Radość z abstrakcji. O matematyce, teorii kategorii i … życiu”, wydawnictwo Helion, rok wydania 2024, ISBN 978-83-289-0039-4

Czy bycie futurologiem to trudne zajęcie? Wydawałoby się, że nie, przecież i tak wiadomo, że wszelkie przepowiednie są funta kłaków warte, więc można pisać z sufitu wszelkie banialuki, byle się tylko z lekka kupy trzymały, a ciemny lud i tak to kupi. Są jednak futorolodzy, którzy swoją pracę traktują poważnie. Ba, mają odwagę, żeby swoje przepowiednie sprzed lat zrewidować, skrytykować, rozliczyć. Taki jest Stanisław Lem. Bo, wbrew pozorom, pisanie powieści science fiction to nie jest to, co Lem lubił najbardziej. Był filozofem, futurologiem, myślicielem, a dopiero gdzieś pod koniec – powieściopisarzem. 

„Okamgnienie” to próba milenijnego podsumowania stanu nauki w oparciu o rzetelną i możliwie aktualną wiedzę (rok 2000). Wiedzę obudowaną i rozszerzoną o filozofię nauki. Bo Lem był przede wszystkim filozofem nauki. Potrafił zauważyć perspektywy (albo ich brak) dotyczące wynalazku lub odkrycia i miał dar trafnego przewidywania dalszego ciągu. Myślę, tak na marginesie, że potrafiłby sensownie dokończyć „Przygody dobrego wojaka Szwejka”. 

Do rzeczy 

O czym jest książka? Po pierwsze często odwołuje się (i rozlicza się z tego, co tam napisał) do „Sumy technologicznej” (Summa technologiae) z 1964 roku. To monumentalne dzieło, napisane „lemowskim” językiem, pełnym neologizmów, było pierwszym, obszerniejszym podsumowaniem nauki i jej perspektyw z punktu widzenia początku lat 60. XX wieku. Lemowi, pozbawionemu dostępu do aktualnej literatury światowej, periodyków naukowych i kontaktów osobistych z globalnym naukowym światem, zupełnie to nie przeszkadzało (choć uwierało, wiadomo). Teraz (2000), po prawie 40 latach Lem podejmuje ten sam temat, ale już z perspektywy nowego tysiąclecia i swoich 80 lat. 

„Okamgnienie” jest podsumowaniem i wizją tych dziedzin nauki i związanej z nimi technologii, którymi interesował się zawsze: astronautyki, robotyki, informatyki, sztucznej inteligencji, cywilizacji pozaziemskich, fizyki, nieśmiertelności, inteligencji (ludzkiej), ewolucjonizmu. W każdej z nich okazuje się zdumiewająco dobrze zorientowany i to nie tylko faktograficznie, ale też kontekstowo i filozoficznie. W każdym poruszanym temacie widzi perspektywy i zagrożenia, a także wprowadza swoje własne, oryginalne przemyślenia. Podobnie jak w „Summie” widać, że czuje ciasnotę terminologiczną i kiedy tylko może posługuje się swoimi słynnymi neologizmami. Rzadko są one zwykłą sztuką dla sztuki, udziwnieniami, przeważnie dokładniej precyzują myśl autora niż terminy obiegowe. Tak czy owak książki nie czyta się tak płynnie jak powieść, często trzeba się zastanowić “co autor miał na myśli” i na koniec głośno krzyknąć „Aha!”. 

Książka sama w sobie jest bardzo zwięzła, więc bez sensu jest ją streszczać temat po temacie. Trzeba ją przeczytać, a mimo, że jest niewielkiego tonażu radziłbym przeznaczyć na nią kilka wieczorów.

Futurologia

Lem nigdy nie był optymistą, no może poza latami 50., kiedy pisał „Astronautów”. Już w „Powrocie z gwiazd”, klasycznej powieści science fiction, wyczuwa się gorycz niespełnienia i zawiedzione nadzieje. Takie podejście do przyszłości widać w „Okamgnieniu” jeszcze wyraźniej. Ostatni rozdział jest praktycznie potępieniem w czambuł poważnych (teoretycznie) periodyków światowych publikujących swoje przewidywania bliższej i dalszej przyszłości. Gorzki język, ironia i złośliwość biją z każdego lemowego zdania. O sztucznej inteligencji pisze „[..]zyskawszy wiedzę o tejże inteligencji sztucznej, stosowanej do suszenia jarzyn, a w szczególności cebuli, doszedłem do niezbitego przeświadczenia, że z rozszerzającego się – również kognitywistycznie – informacyjnego potopu nie ma ucieczki.”

O podróżach na Marsa pisze tak: „Urządzono wielką aukcję, na której ten, kto da więcej, zostanie wyłącznym i szczęśliwym posiadaczem marsjańskiego modułu, który przepadł i zatracił się niedaleko bieguna owej planety, przy podanym jednocześnie małymi literkami zastrzeżeniu, że ów moduł będzie wprawdzie jego własnością, ale niełatwo osiągalną, ponieważ świeżo upieczony właściciel musi się pofatygować po to urządzenie na Marsa.” 

O rozwoju medycyny: „Nowotwory, których nieodwracalne wytrzebienie pisma fachowe i niefachowe ogłaszały już kilkanaście tysięcy razy, będą się, niestety, nadal miały doskonale.”

Nawet awaria teleskopu Hubble’a, szczytu techniki przełomu tysiącleci, nie zdążyła się przed lemową krytyką ustrzec. 

Jednak nawet tu, w potoku kasandrycznych wizji, widać jego geniusz predykcyjny. Pisze o wysypie gadżetów elektronicznych, o telewizji przyszłości “Telewizję rychło będą wyświetlać tapety”, o wszechobecności i natarczywości reklam. 

Przyszłość świata według Lema nie będzie wygodna, kolorowa i beztroska, w odróżnieniu od świata innego futurysty, którego książkę właśnie czytam, Raya Kurzweila „Nadchodzi osobliwość”. Wszakże audiatur et altera pars.