Poprzedni tekst Rozgrzany do czerwoności! zakończyłem poniższym wykresem:

Na początku ubiegłego wieku ówcześni naukowcy starali się rozgryźć, dlaczego ten wykres ma właśnie taki kształt, a nie inny. Naniesiono na niego wyniki obserwacji, z których jasno wynikało, iż wszystkie ciała we Wszechświecie, zależnie od swojej temperatury, emitują promieniowanie elektromagnetyczne (nazywane w tym kontekście termicznym) z różną intensywnością: dla ciał o temperaturze od pokojowej do kilkuset stopni Celsjusza maksimum intensywności przypada na podczerwień; dla wyższych temperatur maksimum przesuwa się w lewo w kierunku światła widzialnego i ultrafioletu (co doskonale pasuje do obserwacji promieniowania emitowanego przez gwiazdy). Zachodzi więc pytanie: czym jest czarna linia opisana jako „Classical theory”? Jest efektem pierwszych prób opisania tego zjawiska za pomocą „naszych dotychczasowych teorii, które jak do tej pory świetnie się sprawdzały”. Tylko że w tym przypadku doprowadziły do czegoś, co jest opisane w szkolnych podręcznikach jako „katastrofa w ultrafiolecie”. Te same podręczniki zwykły opisywać to zagadnienie w dość ogólny sposób, z którego potem człowiek niewiele pamięta, zwłaszcza że była tam jakaś podejrzana matematyka.

Matematyka to po prostu język, który umożliwia opisanie zjawisk w bardzo ogólny, wręcz uniwersalny sposób (oczywiście w zadanym zakresie i w granicach naszego pojmowania). W tym przypadku próba opisania promieniowania termicznego w sposób matematyczny doprowadziła do tego, co odczytujemy z wykresu: ciało jak najbardziej powinno emitować promieniowanie elektromagnetyczne i niezależnie od temperatury większość emisji powinna przypadać na ultrafiolet, a emitowana energia dąży do nieskończoności.

Jeśli gdziekolwiek w opisie pojawia się nieskończoność, to jest to dla nas jasny sygnał, że ewidentnie nie rozumiemy tego, na co patrzymy. Wspomniana katastrofa ma miejsce w naszych obliczeniach, ale nie w rzeczywistości. Skąd się ona wzięła i jak do niej doprowadzono? W szkole nie zrozumiałem z tego nic, ale z pomocą przyszedł wspomniany w poprzednim tekście Feynman i jego przekonanie, że nie ma sensu uczyć się samej matematyki, jeśli nie wiadomo, co się za nią kryje.

No to co się kryje za wspomnianym wykresem? To dość proste, ale nie rozmawiajmy o matematyce i zapomnijmy, że jakikolwiek wykres widzieliśmy kiedykolwiek na oczy – nie ma takich rzeczy. Macie gumkę recepturkę względnie jakiś instrument strunowy? No to naciągnijcie gumkę (struny zazwyczaj już są), uderzcie w nią i poobserwujcie, co się dzieje (możecie też posłuchać).

Otóż struna drga! No właśnie – drga w określony sposób, gdyż wzdłuż niej przesuwa się fala. W tym przypadku mechaniczna, a jeśli przyjrzeć się dokładniej, to właściwie są to dwie fale nakładające się na siebie. Taki rodzaj fali nazywamy falą stojącą. To teraz spójrzmy, co się stanie jeśli zmienić długość fali – na przykład skrócić strunę, chwytając ją dokładnie w połowie. Ewidentnie widać, że zwiększyła się jej częstotliwość. Nasuwa się wobec tego pytanie: ile razy można powtórzyć tę operację? Nieskończenie wiele razy.

Tylko jaki to ma związek z omawianym tematem, czyli promieniowaniem termicznym, ciałem doskonale czarnym i katastrofą w ultrafiolecie? Fundamentalny! W końcu fala to fala – obojętnie, czy mechaniczna, czy elektromagnetyczna. Wróćmy na chwilę do ilustracji urządzenia, które symuluje ciało doskonale czarne (tj. takie które absorbuje całe padające nań promieniowanie).

Przypominam jak to działa. Modelem ciała doskonale czarnego jest szczelina w pudełku, którego ściany od wewnątrz są pokryte np. sadzą. O ile zewnętrzne ścianki takiego pudełka będą odbijać padające na nie promieniowanie, o tyle to, co wpadnie przez szczelinę, już tam zostanie, dlatego całe promieniowanie wydostające się ze szczeliny będzie zależeć tylko i wyłącznie od temperatury. No to co się tam dzieje i po co te fale? Weźmy latarkę, poświećmy przez chwilę na to pudło i pomyślmy, cośmy najlepszego narobili!

Światło, a więc strumień fotonów, wpadło do wnętrza pudełka i zostało pochłonięte na jego ściankach. Konkretnie to fotony zostały pochłonięte przez elektrony będące składnikiem atomów, z których każdy obiekt materialny się składa. I co dalej? Skoro pudełko emituje promieniowanie elektromagnetyczne, to są to z pewnością fale tego rodzaju, które docierając do przeciwległej ścianki pudełka, odbijają się, nakładając się na siebie. Jaki to rodzaj fal? Stojące fale elektromagnetyczne. Z obserwacji wiemy, że każde ciało, które emituje promieniowanie termiczne, emituje je we wszystkich zakresach częstotliwości. Stąd wiemy, że tych stojących fal wewnątrz pudełka możemy się spodziewać we wszystkich zakresach – od radiowych po najwyższe częstotliwości. Katastrofa zaczęła się, gdy próbowano to wszystko opisać za pomocą czegoś, co groźnie nazywa się zasadą ekwipartycji energii.

To naprawdę nic trudnego do zrozumienia, jeśli tylko chwilę się zastanowić nad pewną kwestią. Usiądźmy przy trzech koszach na śmieci, do których ludzie co jakiś czas coś wrzucają, poobserwujmy trochę i spróbujmy sobie odpowiedzieć na pytanie: który z koszy pod koniec dnia będzie wypełniony najbardziej przy założeniu że ludzie wrzucają tam odpadki całkowicie losowo, a każdy z nich zajmuje dokładnie taką samą objętość? Pytanie na które nie da się odpowiedzieć? Nic z tych rzeczy – skoro mamy trzy kosze i absolutnie żadnych preferencji co do wyboru, to oznacza, że każdy z nich będzie wybierany średnio tak samo często, a więc pod koniec dnia wszystkie będą wypełnione tak samo.

Podobna sytuacja zachodzi z cząstkami, które również mają coś do wyrzucenia na kilka różnych sposobów – energię, która powoduje ich drgania. I teraz kolejne pytanie: w którym kierunku te drgania mają miejsce? Cząstka, jeśli jest jedna, to ma do wyboru osie x, y, z, czyli trzy stopnie swobody, jak nazywają to statystycy. No i teraz jeśli tych cząstek jest biliard to która z osi będzie preferowana najczęściej, jeśli drgania termiczne mają charakter chaotyczny? Odpowiedzi udzieliliśmy sobie powyżej. Na każdy ze stopni swobody statystycznie przypada tyle samo energii. A po co o tym mowa, skoro przed chwilą było coś o strunach i o tym, że częstotliwości fal wewnątrz pudełka jest tyle, że ich liczba dąży do nieskończoności?

Każda z częstotliwości fal elektromagnetycznych jest takim stopniem swobody, co oznacza że mamy skończoną porcję energii podzielić pomiędzy nieskończoną liczbę stopni swobody. Jeśli na każdy z nich ma przypadać tyle samo, to tego zrobić się nie da. Matematyka z pewnością się nie myli, zastosowaliśmy jej narzędzia i wyszły nam piramidalne bzdury. Oznacza to, że nasze dotychczasowe rozumienie zjawiska zupełnie nie przystaje do rzeczywistości. Obserwacje dają nam jedne dane, które odkładamy na wykresie – linię dążącą do maksimum i gwałtownie opadającą; nasze próby opisania tego z kolei sugerują coś zupełnie innego. Wszechświat się nie psuje, natomiast my mylimy się często.

Sprawcą powyższej katastrofy w głównym stopniu okazał się Lord John Rayleigh, angielski fizyk i noblista. Chcąc sformułować prawo opisujące rozkład promieniowania termicznego, skorzystał z pomocy matematyka Jamesa Jeansa. Zastanawiając się nad tym, jak sformułować prawo, które w sposób uniwersalny opisze rozkład promieniowania z powierzchni ciała doskonale czarnego, należy znaleźć matematyczny opis czegoś, co mądrze nazywa się radiancją spektralną częstotliwości. Po polsku oznacza to, ile mocy wyemitowanej przej jednostkę powierzchni takiego ciała przypada na daną czestotliwość lub długość fali. Panowie zaproponowali prawo opisane poniższym wzorem:

Wiem, że miało być bez matematyki, ale to naprawdę nie jest nic skomplikowanego. Prędkość światła jest tam potrzebna, bo mówimy przecież o emisji promieniowania elektromagnetycznego. Stała Boltzmanna to taka stała, która opisuje rozkład energii cząsteczek; jest nam potrzebna, bo opisuje proporcjonalność pomiędzy średnią energią kinetyczną pojedynczej cząsteczki a temperaturą bezwzględną (mówimy o skali Kelwina). T, czyli temperatura w kelwinach, i oczywiście lambda opisująca długość fali. Wzór elegancki, ale spójrzcie na jego mianownik: długość fali do czwartej potęgi. I tu pojawiła się katastrofa, a „tu” oznacza: gdy postanowiono przeprowadzić w związku z tym wzorem pewną operację matematyczna o bardzo nieprzyjemnej dla ucha nazwie, tj. całkowanie. Najprościej i prymitywnie mówiąc, jest to proces dodawania wielu małych elementów, aby uzyskać sumę. Jest to odpowiednik mnożenia dla dodawania lub potęgowania dla mnożenia. W rzeczywistości, gdy mówimy, że obliczamy „całkę funkcji”, to znajdujemy sumę nieskończenie wielu śladowych elementów. Tylko że w rozumowaniu Rayleigha i Jeansa była pewna słabość.

Nawet jeśli wspomnianych stopni swobody jest dowolnie dużo, to nie na każdy z zakresów promieniowania przypada ich tyle samo. Bez wchodzenia w matematykę, a dla zobrazowania, o czym mowa – jeśli na podczerwień przypada ich dajmy na to 100, na światło widzialne 1000 a na ultrafiolet 10 000, a na każdy z nich przypada średnio tyle samo energii – powiedzmy, 5 jednostek, to niezależnie od tego, jakich jednostek użyć, najwięcej emitowanej energii musi przypadać na najwyższe zakresy. Właśnie dlatego wykres, zamiast być poziomą linią, gwałtownie wznosi się ku górze, dążąc do nieskończoności.

Dla fal o dużych długościach wzór był poprawny, ale im krótsze fale, tym bardziej rozjeżdżał się z rzeczywistością, zresztą wnioski z niego płynące również: gdyby każde ciało niezależnie od swojej temperatury miałoby wypromieniowywać najwięcej energii w ultrafiolecie, to życie na naszej planecie byłoby niemożliwe, a tak wystarczą kremy z filtrem.

Do czasów, o których mówimy, nie udało się wyjaśnić, dlaczego ciała promieniują tak a nie inaczej; dziś już to wiemy. Odkrywcą rozwiązania był Max Planck, który postanowił przyjrzeć się temu spektrum dokładniej i „zauważył” w nim pewne nieciągłości. No, ale to już temat na kolejny tekst, w którym dowiemy się, dlaczego klasyczna fizyka zawiodła i jakiego ambarasu narobił wspomniany Planck kolejnym pokoleniom fizyków…

(c) by Lucas Bergowsky
Jeśli chcesz wykorzystać ten tekst lub jego fragmenty, skontaktuj się z autorem.