Nasz pierwszy system liczenia to: jeden, dwa, trzy, dużo. Od tego zaczynamy i taki system wystarcza nam na długi czas (niektórym na zawsze). Chociaż obecnie przyzwyczailiśmy się do pozycyjnych systemów liczenia, a system dziesiętny większości z nas wydaje się naturalny, należy wiedzieć, że system liczenia oparty na cyfrach rzymskich nie jest pozycyjny, a przez to nie nadaje się do bardziej skomplikowanych obliczeń. Wydaje się więc dziwne, że posiadając mnóstwo ograniczeń, niekonsekwencji i niezawierający zera, jest używany także obecnie i ma się całkiem dobrze. Zanim przejdę do tematu głównego, pozwolę sobie poświęcić mu parę akapitów. 

Rzymski system liczenia

Otrzymaliśmy go w spadku po starożytnych Rzymianach, chociaż to wcale nie oni są jego wynalazcami. Rzymianie zapożyczyli ten system od Etrusków w VI-V w. p.n.e., co nieco tylko modyfikując. Zwiększyli liczbę liter (nie cyfr) z pięciu do siedmiu i używali go powszechnie, aż do upadku Imperium, czyli do V w. n.e. Prawie całe europejskie średniowiecze, to też dominacja systemu rzymskiego.

Rzymski system liczenia jest systemem addytywnym. Oznacza to, że wartość danej liczby oblicza się w oparciu o sumę wartości jej liter. Od tej reguły istnieją wyjątki, dotyczące liczb 4, 9, 40, 90, 400 i 900, gdzie stosuje się regułę odejmowania. Skomplikowane. Jeśli dodać do tego trudność w przedstawianiu dużych liczb i brak reprezentacji liczby 0 (zero), naprawdę trudno zrozumieć, dlaczego taki potworek powstał i jakim cudem tak długo się utrzymał. 

Narodziny nieskończoności

Dopiero system pozycyjny umożliwił reprezentację dowolnie wielkich liczb. Jak dowolnie, to inna sprawa. Systemy liczenia zawsze miały przede wszystkim walor praktyczny, a matematyka była stosowana przede wszystkim w handlu i budownictwie, jako atrybut policzalności. Zakres fizycznej reprezentacji liczb rzadko przekraczał tysiąc. Utylitarne zastosowanie liczenia tłumaczy brak potrzeby używania liczby zero, które oznacza niepoliczalne ‘nic’.

Jak napisałem wcześniej, nowoczesny pozycyjny system liczenia narodził się w Indiach. Cyfry znane jako “arabskie” to w istocie przerobione indyjskie cyfry dewanagari. Wymowa tych cyfr przypomina wymowę współczesną. Spójrzmy: 2 to “dwi”, 3 to “tri”, 6 to “szasz”, 7: “sapta”, 8: “akta”, 9: “nawa”. 

Matematycy hinduscy wynaleźli też zero (jako liczbę). I chwała im za to, bo pojęcie zera wyciągnęło matematykę z pułapki pragmatyki w stronę matematyki teoretycznej, niekoniecznie mającej pokrycie w liczbie muszelek albo antylop w stadzie. Należy też odróżniać liczbę zero od cyfry zero. Pozycyjny system liczenia niejako wymusza istnienie cyfry “0”, jako reprezentację braku odpowiedniego składnika pozycyjnego liczby składającej się z wielu cyfr. No bo jak zapisać liczbę 300098 w zapisie bez zera? 3   98? Skąd wiadomo, że w takim zapisie są trzy a nie dwie spacje? A więc zero (jako liczba) jest konsekwencją i koniecznością istnienia zera jako cyfry, a to z kolei jest konsekwencją wynalazku pozycyjnego zapisu liczb za pomocą cyfr.

Gwoli ścisłości, system pozycyjny narodził się dużo wcześniej, bo około roku 3200 p.n.e. w Sumerze. Zapis opierał się na liczbie 60, a w miejscu zera było puste miejsce.

Pierwszym teoretykiem pojęcia nieskończoności był Arystoteles ze Stagiry ( 384 p.n.e. – 322 p.n.e.). Według Arystotelesa istnieją różne rodzaje nieskończoności:
1. nieskończoność potencjalna – dla każdej liczbę istnieje liczba większa od niej.
2. nieskończoność aktualna – to na przykład zbiór wszystkich liczb naturalnych, traktowany jako jeden wyraźnie określony obiekt będący końcowym efektem nieskończonego procesu zwiększania liczebności, obiekt, mogący być elementem innego zbioru.
Arystoteles wyróżnił też dwa rodzaje nieskończoności potencjalnej:
1. nieskończoność ze względu na dodawanie, zwiększanie (np. liczb, odcinków),
2. nieskończoność ze względu na podział (na przykład odcinka).
Arystotelesowska nieskończoność potencjalna była przez uczonych akceptowana, nie wzbudzała emocji. Na jej podstawie sformułowano pojęcie granicy ciągu i wiele innych ważnych elementów analizy matematycznej. Jednak nieskończoność aktualna, która prowadziła do paradoksów, była przez uczonych negowana, można powiedzieć, że wypierana ze świadomości. Najbardziej znanym paradoksem związanym z nieskończonością jest paradoks Zenona z Elei (ten o Achillesie i żółwiu). Inną “sprzecznością” była pozorna sprzeczność, że liczebność zbioru liczb naturalnych i liczebność ich kwadratów jest taka sama, a przecież jeden zbiór zawiera się w drugim. Dopiero rozwój matematyki w ostatnich stuleciach uporządkował te kwestie.

Między zerem a nieskończonością

Zero to ‘nic’, nieskończoność to najwyższej próby abstrakcja, małe liczby to handel, fizyka, mierniki i inne praktyczne zastosowania. Czy coś jeszcze zostało? Zostały liczby nieposiadające reprezentacji w rzeczywistości i niebędące nieskończonością. Oto tabela nazw dużych liczb i ich reprezentacja dziesiętna:

…..

Międzynarodowy Układ Jednostek Miar SI obejmuje niewielką część tego zestawienia (ostatnie dwie kolumny). Cała tabela sprawia wrażenie, że jej autorom (od wykładnika potęgi dziesiętnej większego od 120) “odjechał peron”, bo nie ma pary wielkości fizycznych, których wartości różnią się o czynnik większy niż 10¹²⁰. Przedrostek Q czyli quetta (10³⁰), nazwany przedrostek największej liczby w układzie SI, został przyjęty oficjalnie dopiero w listopadzie 2022 roku podczas spotkania Generalnej Konferencji Miar i Wag (GCWM). Ciekawostką wartą odnotowania jest, że układ SI obowiązuje na całym świecie oprócz Birmy (Mjanmy), Liberii i Stanów Zjednoczonych, gdzie nadal jest używany system imperialny. Pod tym linkiem, można znaleźć więcej informacji na temat tej konferencji, na której sformalizowano także przedrostki ronna, ronto i quecto .

Nie dość, że duże liczby są trudne do wyobrażenia, to sami sobie skomplikowaliśmy ich nazewnictwo. Wymyśliliśmy dwa systemy ich nazywania, tak zwaną “długą” i “krótką” skalę. Obie skale nie różnią się dla liczb mniejszych niż 10⁹. Dla liczb większych następuje rozjazd. Dla skali krótkiej nazwy liczb większych lub równych 10⁹ są podawane dla kolejnych potęg tysiąca. Dla skali długiej nazwy te są różne dla kolejnych potęg miliona. Jest to źródłem nieustannych pomyłek w przekazie medialnym. Nasz milion to także milion amerykański, ale już nasz miliard to ichniejszy bilion, a na nasz bilion Amerykanie mówią trylion. Komedia pomyłek.

To nie wszystko

Wydawałoby się, że 10³⁰⁰³, czyli millinillion (według długiej skali), albo quingentilliard (według krótkiej skali) to wszystko, co wyobraźnia ludzka może wyprodukować. Przecież to prawie nieskończoność. Nic bardziej mylnego. 

Gdzieś pośrodku przedstawionej powyżej skali znajduje się googol, liczba wymyślona w 1920 r. przez 9-letniego Miltona Sirottę (1911–1981), bratanka amerykańskiego matematyka Edwarda Kasnera. Kasner spopularyzował tę nazwę w książce Matematyka i wyobraźnia z 1940 roku. Googol, którego nazwa wzięła się od nazwiska bohatera komiksu Barney Google i Snuffy Smith autorstwa Billy’ego DeBecka, oznacza 10¹⁰⁰.  

Googol ma, trochę na siłę, zastosowanie praktyczne. Masa elektronu, czyli około 10^–30 kg, porównana z  masą widzialnego wszechświata, szacowaną pomiędzy 10^50 a 10^60  kg wynosi 10⁸⁰ – 10⁹⁰, czyli jedna dziesięciomiliardowa googola (0,00000001% googola).

Jeszcze większą nazwaną dużą liczbą jest googolplex. To 10^googol, czyli jedynka, po której następuje googol zer. To też wynalazek Miltona Sirotty, który określił ją jako liczbę  „jeden, po którym należy pisać zera, aż się zmęczysz”. Edward Kassner sformalizował pomysł bratanka jako 10^googol. I tak powstała jedna z największych liczb świata.

To rzeczywiście jeszcze nie wszystko. 

Liczba Grahama to liczba, która jest górną granicą rozwiązania problemu z dziedziny matematycznej teorii Ramseya (nieważne, czego ta teoria dotyczy). Liczba Grahama jest tak wielka, że obserwowalny Wszechświat jest za mały, aby pomieścić zwykłą cyfrową reprezentację liczby Grahama, przy założeniu, że każda cyfra zajmuje jedną objętość Plancka, najmniejszą mierzalną przestrzeń. Ale nawet liczba cyfr w cyfrowej reprezentacji liczby Grahama sama w sobie byłaby liczbą tak dużą liczbą, że jej cyfrowej reprezentacji nie można przedstawić w obserwowalnym wszechświecie. I tak wiele razy… 

Jeśli zaintrygowała Cię, szanowny Czytelniku, objętość Plancka, to o najmniejszych jednostkach w świecie fizyki teoretycznej możesz poczytać w artykule Lucasa Bergowsky’ego “Pikseloza” we Wszechświecie. Masa Plancka, równa około 0,02 miligrama jest szczególnie intrygująca. Dlaczego, przecież bakteria waży mniej? Odpowiedzi poszukaj w artykule Lucasa.

Istnieje jeszcze wiele innych wielkich liczb, nazwanych nazwiskami ich odkrywców (a raczej wynalazców): liczba Skewesa, liczba Mosera i wiele innych. 

Małe polonikum

Do konstrukcji bardzo dużych liczb naturalnych jest używana notacja Steinhausa-Mosera. Została ona wymyślona wspólnie przez wybitnego polskiego matematyka Hugona Steinhausa, profesora Uniwersytetu Jana Kazimierza i Uniwersytetu Wrocławskiego, współtwórcy lwowskiej szkoły matematycznej i Leo Mosera. Jest rozwinięciem notacji Steinhausa. Notacja Steinhausa-Mosera ma postać liczby wpisanej w wielokąt foremny.