Złoty podział, Fibonacci i ten trzeci

Ucząc się matematyki nie zawsze zauważamy związki łączące różne jej elementy. Co dopiero, jeśli związki te nie są widoczne i oczywiste. A przecież matematyka, przynajmniej ta szkolna, klasyczna, opiera się na niewielu niezależnych i niepowiązanych aksjomatach; reszta to “tylko” piramida dowodów. Poniżej przedstawię złoty podział, jego zastosowania oraz związek złotego podziału z ciągiem Fibonacciego. Jako ciekawostkę pokażę też mniej znany ciąg Lucasa i jego bliskie pokrewieństwo z ciągiem Fibonacciego i złotym podziałem. Trzy różne, znane ze słyszenia byty, których nie podejrzewalibyśmy o tak ścisły związek. Powiązanie tych trzech pojęć niech będzie wytłumaczeniem nieco pokrętnego i zwodniczego tytułu tego artykułu.

Wspomniałem o aksjomatach. Podwaliny pod teorię modeli – dział logiki matematycznej zajmujący się badaniem własności modeli teorii aksjomatycznych i zależności między nimi położyli w latach 30-tych XX wieku Alfred Tarski i Kurt Gödel. Kurta Gödla nie trzeba przedstawiać. Logik Alfred Tarski to członek filozoficznej Szkoły Lwowsko-Warszawskiej, której należy się osobny wpis z racji przynależności do niej m.in. Tadeusza Kotarbińskiego i Władysława Tatarkiewicza.

Proporcje rządzą światem? Coś w tym jest. Szukamy harmonii w chaosie. Złota proporcja, inaczej złoty podział, boska proporcja, złota liczba, środek Fidiasza, liczba φ (greckie phi, od Fidiasza), 1,6180339887498948482… Wszyscy ją znamy, wiemy, że jest używana w architekturze, malarstwie, muzyce, nie gardzi nią przyroda, wręcz uwielbia. Dlaczego?

Złota liczba nie wzięła się znikąd, nie została ustanowiona królewskim dekretem ani objawiona w dziełach religijnych. Została odkryta i była badana już w starożytności przez Pitagorasa i Euklidesa w związku z jej występowaniem w figurach geometrycznych, a w szczególności w pentagramie i pentagonie (pięciokącie). Elementy Euklidesa opisują ją tak: “Prosta linia jest podzielona w złoty sposób, gdy stosunek całej linii do większego odcinka jest równy stosunkowi większego do mniejszego”. Kilka euklidesowych twierdzeń i dowodów zamieszczonych w Elementach wykorzystuje tę proporcję. Fidiasz wykorzystywał złoty podział przy rzeźbieniu figur zdobiących Partenon na ateńskim Akropolu.

Ryc. 1 Partenon. Fasada wschodnia. Licencja Creative Commons

Złota liczba jest także charakterystyczną cechą, jedną z konsekwencji ciągu Fibonacciego. Leonardo z Pizy znany jako Leonardo Fibonacci, Filius Bonacci (syn Bonacciego), Leonardo Pisano (z Pizy), wspomniał o niej w swoim dziele Liber abaci (1202 r.).

Ciąg Fibonacciego tworzymy w następujący sposób:

  • pierwsze dwa elementy to 0 i 1
  • każdy następny element jest sumą dwóch elementów poprzednich. Ciąg Fibonacciego wygląda następująco: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 i tak dalej.
    Jeśli podzielimy każdy wyraz ciągu, poczynając od trzeciego, przez wyraz poprzedni, to wartość tego ilorazu będzie coraz bliższa liczbie φ. Mamy więc ścisły związek matematyczny między złotym podziałem a ciągiem Fibonacciego.

Współczesna historia złotej liczby oraz jej zastosowanie w sztuce i architekturze zaczyna się od XVI-wiecznego dzieła De divina proportione Luca Pacioliego z 1509 roku. XVI-wieczny niemiecki astronom i matematyk Johannes Kepler napisał: „Geometria ma dwa wielkie skarby: jednym z nich jest twierdzenie Pitagorasa, a drugim podział odcinka w złoty sposób; pierwszy z nich możemy porównać do złota, a drugi do drogocennego klejnotu”. Oba te “skarby” możemy zobaczyć w tzw. trójkącie Keplera. Tu mała dygresja. Tak zwany trójkąt egipski to trójkąt prostokątny, w którym długości boków tworzą ciąg arytmetyczny 3: 4: 5. Trójkąt Keplera to jedyny trójkąt prostokątny, gdzie długości boków są ciągiem geometrycznym 1: √φ: φ.

Ryc. 2 Trójkąt Keplera. Licencja Creative Commons

Liczba φ jest liczbą niewymierną, ale w odróżnieniu od innej, bardziej znanej liczby niewymiernej – liczby π (pi), istnieje dokładny wzór matematyczny na obliczenie jej wartości: (1 + √5)/2. To jedno z dwóch rozwiązań równania kwadratowego φ2 – φ – 1 = 0 wynikającego z zasady tworzenia ciągu Fibonacciego. Liczba φ posiada pewne magiczne właściwości zawarte we wzorach:
φ2 = φ + 1
1/φ = φ – 1
Wspomniałem wcześniej o badaniu występowania liczby φ przez Pitagorasa i Euklidesa w pentagramie i pentagonie. Rysunek poniżej jest ilustracją złotej proporcji zawartej w tych figurach. Dla pentagonu φ = b/a, dla pentagramu φ = a/b = b/c = c/d.

Ryc. 3 Pentagon i pentagram a liczba φ.
Źródło: https://home.agh.edu.pl/~zobmat/2022/jung_oskar/geometry.html

Jeszcze jedno “złotko” związane ze złotym podziałem. Jest to złoty kąt, który jest kątem, który powstaje w wyniku podziału obwodu okręgu na dwa łuki, których długości są ze sobą w proporcji φ. Jego miarą jest 137,5 lub 2,399964 rad. Złoty kąt występuje często w przyrodzie, zwłaszcza w filotaksji (ulistnieniu) roślin.

Ciąg Lucasa

Ciąg Fibonacciego nie jest wyjątkowy. Jako pierwsze elementy tego ciągu wybraliśmy arbitralnie 0 i 1. Jeśli wybierzemy na przykład liczby 2 i 1 oraz zachowamy regułę obliczania następnych wyrazów ciągu otrzymamy tzw. ciąg Lucasa, którego elementy będą różniły się od elementów ciągu Fibonacciego: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, …
Ciąg jak ciąg, co w tym wyjątkowego?
Jak pamiętamy stosunek wartości n-tej ciągu Fibonacciego do wartości (n-1) dąży do liczby φ. Prawidłowość ta występuje także w ciągu Lucasa, ale … jest jeszcze coś. Jeśli wartość liczby φ zaczniemy podnosić do kolejnych potęg całkowitych, to otrzymane liczby, po zaokrągleniu, dadzą nam kolejne wyrazy ciągu Lucasa. Mamy więc także zależność odwrotną: z liczby φ otrzymujemy kolejne wyrazy ciągu.

To nie wszystko. Oba ciągi są ze sobą ściśle powiązane. Suma dowolnych dwóch, różniących się o 1 wyrazów ciągu Fibonacciego daje nam wyraz ciągu Lucasa. Na rysunku poniżej 2+5=7, 5+13=18, 8+21=29.

Uff. Wzory mamy za sobą. Czas na prezentację praktycznych zastosowań złotej proporcji.

Przyroda

W przyrodzie ciąg Fibonacciego i proporcja złotego podziału występuje najczęściej w postaci tzw. złotej spirali lub złotego kąta. Złota spirala to krzywa narysowana na bazie prostokąta podzielonego na kwadraty, których boki są kolejnymi liczbami ciągu Fibonacciego.

Ryc. 4 złota spirala. Licencja CC BY 3.0

Spiralny zwój muszli łodzika (Nautilus pompilius) rozszerza się zgodnie z proporcjami spirali logarytmicznej. Złota spirala jest spiralą logarytmiczną, więc często muszlę łodzika podaje się jako przykład złotej proporcji. Co do zasady – tak, to prawda, co do dokładności odwzorowania – niekoniecznie. Natura nie jest perfekcyjna, w formowaniu muszli maja udział także inne czynniki, nie tylko reguły wzrostu.

Ryc. 5 Muszla łodzika

Galaktyki spiralne mają kształt łudząco podobny do złotej spirali.

Ryc. 6 Galaktyka spiralna M51. Źródło: https://www.euroscientist.com/applied-mathematics/ Własność: NASA i The Hubble Heritage Team (STScI/AURA)

Okazuje się, że ciąg Fibonacciego występuje też w świecie roślin. Liczba pędów krwawnika w kolejnych miesiącach jest zgodna z tym ciągiem. Podobnie inne rośliny, na przykład drzewa. Jest to związane z optymalizacją dostępu liści do światła słonecznego. Spiralna filotaksja (ulistnienie) zgodna z ciągiem Fibonacciego gwarantuje minimalizację zasłaniania jednych liści przez drugie. Kąt dywergencji między kolejnymi kwiatostanami jest u większości roślin złotym kątem.

Ryc. 7 Kąt dywergencji między kolejnymi kwiatostanami. Licencja CC BY-SA 3.0

Architektura, sztuka, fotografia

Złoty podział jest wykorzystywany w architekturze, malarstwie, fotografii, grafice do projektowania miłych dla oka proporcji. Le Corbusier opracował system proporcji wielkości poszczególnych elementów budowli oparty na liczbie φ. Schemat tego podziału jest przedstawiony jako postać człowieka z podniesioną ręką.

Ryc. 8 Schemat Le Corbusiera oparty na złotym podziale. Licencja CC BY 2.0

Złoty podział był wykorzystany przy budowie wielu znanych obiektów: egipskich piramid, greckiego Partenonu, Wieży Eiffla, Katedry Notre Dame, Tadż Mahal. Leonardo da Vici czerpał z niego garściami tworząc Narodziny Wenus, Wenus z Milo, Ostatnią Wieczerzę czy portret Mony Lisy. Słynny Człowiek witruwiański zawiera wiele proporcji zgodnych ze złotym podziałem.

Ryc. 9 Człowiek witruwiański (Vitruvian Man). Licencja: domena publiczna

I to by było na tyle…

Jeśli artykuł podobał się i chciałbyś/chciałabyś go polecić, możesz to zrobić tu:

https://wykop.pl/link/7122395/zloty-podzial-fibonacci-i-ten-trzeci
 

11 thoughts on “Złoty podział, Fibonacci i ten trzeci

  1. Warto zwrócić uwagę, że jeśli przyjmiemy jako pierwsze elementy ciągu nie liczby całkowite, ale 1 i φ, to dostajemy kolejny ciąg “magiczny” (tu z zaokrągleniem do trzech miejsc dziesiętnych po przecinku):

    1
    1,618
    2,618
    4,236
    6,854
    11,090
    17,944
    29,034
    46,978
    76,023
    122,991
    199,005
    321,996
    521,001

    Każdy kolejny wyraz ciągu jest sumą dwóch poprzednich, ale także jest dokładnie kolejną potęgą φ, tzn. te liczby wynoszą dokładnie (φ⁰, φ¹, φ², φ³, φ⁴,…). Już od trzeciego wyrazu ciągu zaokrąglenie do liczby całkowitej daje nam kolejne liczby Lucasa (z rosnącą dokładnością).

    Krótko mówiąc, n-ta potęga liczby φ jest zawsze równa sumie dwóch poprzednich potęg, (n -1)-ej i (n-2)-ej.

    2
  2. Wspominałem o tym przy okazji prezentacji ciągu Lucasa. Właśnie ze względu na swoje “magiczne” właściwości proporcja złotego podziału jest tak fascynująca.
    φ2 = φ + 1
    1/φ = φ – 1

    1
    • Jasne. Chodzi mi jednak o to, że także:

      φ³= φ² + φ = 2φ + 1
      φ⁴ = φ³ + φ² = 3φ + 2
      φ⁵ = φ⁴ + φ³ = 5φ + 3
      φ⁶ = φ⁵ + φ⁴ = 8φ + 5
      itd.

      Gdzie nie spojrzeć, tam pojawia się ciąg Fibonacciego.

      2
  3. Suma potęg daje się wyprowadzić z “magicznej” właściwości #1.

    dla n > 2:
    φ^n = φ^(n-2) * φ^2
    po zastosowaniu magic #1:
    φ^n = (φ+1) * φ^(n-2)=
    = φ^(n-1) + φ^(n-2)
    cbdo

  4. I jeszcze jedna zagadka związana ze złotym podziałem: Dzieła artystyczne oparte na złotej proporcji są uznawane – w sposób naturalny, niejako przyrodzony – przez ludzi za estetyczne, harmonijne i miłe dla oka. Ciekawe, dlaczego…

    • W dużym stopniu dlatego, że sami stworzyliśmy taki mit, wybiórczo traktując dane. Na przykład, Bogiem a prawdą, trzeba się sporo nakombinować, żeby w proporcjach Partenonu znaleźć cokolwiek zbliżonego do φ. Ani długość i szerokość budynku, ani proporcje którejkolwiek z fasad nawet w przybliżeniu nie wynoszą 1,618… Mimo to “każdy wie”, że Grecy stosowali złoty podział, a skoro każdy wie, to mało kto sprawdza. Deska, na której Leonardo namalował Monę Lisę, ma wymiary 77 cm × 53 cm (proporcja 1,4528… : 1), a jednak niejeden “znawca sztuki” widzi w niej złoty podział. Jeśli się dobrze postaramy, to w tym czy innym dziele sztuki znajdziemy coś, co nam pasuje do koncepcji, ale tylko ignorując to, co nie pasuje. Wiele proporcji jest “przyjemnych dla oka”. Nie znam żadnego badania, które by dowodziło, że proporcja φ : 1 jest uniwersalnie “w sposób przyrodzony” odbierana jako przyjemniejsza od innych.

      • To prawda. Wszystko, co ma proporcje zbliżone do 3/2 jest odbierane jako proporcjonalne. Być może ma to związek z polem widzenia i możliwością rejestracji obrazu przez mózg bez konieczności poruszania głową. Nie bez powodu ekran wide-screen ma proporcje 16:9 czyli 1,7777 i jest odbierany jako proporcja komfortowa do oglądania filmów w kinie. Proporcje Partenonu po zewnętrznym obrysie to 1,85. Format książki czy “złote” proporcje karty kredytowej powstały PO odkryciu fascynacji Greków złotą proporcją. Mamy więc do czynienia z myśleniem “to musi być piękne skoro trzyma złotą proporcję”, a więc z zaburzeniem toku wnioskowania przyczynowo-skutkowego.

        • Wymiary książek nie są “złote”. Arkusze papieru mają jednolitą proporcję √2 : 1, czyli 1,4142… : 1 z czysto praktycznych względów: ta proporcja jest niezmiennicza względem podzielenia na pół. Na przykład arkusz A4 ma wymiary 297 × 210 mm. Przecinając go w poprzek albo składając w pół dostajemy dwa identyczne arkusze A5 (210 × 148), dzieląc A5 na pół dostajemy dwa arkusze A6 itd. Taki system istniał już w średniowieczu i trzymał się go Gutenberg. Jego klasyczna Biblia miała rozmiary ok. 42 x 30 cm. Sprawdziłem, że moja karta kredytowa ma 86 × 54 mm, czyli 1,59 : 1. Blisko φ, ale jednak nie całkiem.

          • Miałem na myśli niewspółczesne formaty książek, z czasów fascynacji złotym podziałem. Linie A i B zostały zaprojektowane wg. schematu długość->szerokość->długość->szerokość, ze względów praktycznych.
            Według Jana Tschicholda:” Był czas, gdy odstępstwa od naprawdę pięknych proporcji strony 2:3, 1:sqrt(3) i złotego podziału były rzadkie. Wiele książek wydanych między 1550 i 1770 stosują te proporcje z dokładnością do pół milimetra.”. (Wikipedia)
            Współcześnie “złote” formaty 8:5 są używane do wydawnictw
            ekskluzywnych i są uznawane za “wygodne do czytania”.
            Norma ISO/IEC 7810 określa wymiary karty kredytowej na 85,6X53,98 czyli brakuje 1mm na krótszym boku do fi. Niewątpliwie złota proporcja miała swój udział w powstaniu tej normy.

            • Nawet Tschichold trochę naciągał i idealizował. Jego lista “czystych proporcji” jest długa i obejmuje m.in. wszelkie fibonacciowskie przybliżenia złotej proporcji (1:2, 2:3, 3:5, 5:8) oraz np. 1:✓2, 1:✓3, 1:✓5. Jeśli dopuścić milimetrowe odchyłki od ideału, to niejeden dość przypadkowy prostokąt da się dopasować do któregoś z “preferowanych” i “naprawdę pięknych” formatów. Kanony układu tekstu (marginesy, pole tekstowe) są na tyle ogólne, że można je zastosować także do strony o proporcjach odbiegających od wyidealizowanych.

              1

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany. Wymagane pola są oznaczone *