Kilka dni temu we wpisie poświęconym moim zaskoczeniom chemicznym, pisząc o kwazikryształach, wspomniałem o nieokresowych (aperiodycznych) pokryciach płaszczyzny „kafelkami” należącymi do skończonego zestawu kształtów. Nieokresowość polega na tym, że lokalny układ kafelków nie powtarza się nigdzie w tej samej formie i przesunięcie go w którąkolwiek stronę nie spowoduje, że wzór nałoży się sam na siebie. Wspomniałem, że oksfordzki fizyk i matematyk Roger Penrose (od 2020 r. laureat nagrody Nobla za badania nad czarnymi dziurami) mniej więcej 50 lat temu odkrył najmniejsze znane dotąd zestawy mogące utworzyć nieokresowy parkietaż (pokafelkowanie płaszczyzny). Każdy z nich zawiera po dwa różne czworokąty.
Wygląda na to, że wywołałem wilka z lasu, bo tego samego dnia ogłoszono nowe osiągnięcie w tej dziedzinie: odkryto zestaw złożony z jednego kafelka, który wystarczy do pokrycia całej płaszczyzny, czyli poprawiono rekord Penrose’a. Taki zestaw (poszukiwany od pół wieku) nazywa się fachowo einsteinem (nie tyle na cześć Alberta, co dlatego, że jest to „jeden kamyczek”, czyli ein Stein). Sam Penrose sądził, że einstein może istnieć, choć brakowało na to dowodu. Podejrzewano, że jeśli istnieje, to zapewne okaże się jakimś skomplikowanym, wymyślnie pokręconym kształtem; tymczasem ten konkretny einstein jest figurą nieoczekiwanie prostą: trzynastokątem o dziewięciu kątach wypukłych i czterech wklęsłych. Kształtem przypomina nieco asymetryczny kapelusz, a można go skleić z ośmiu deltoidów (czworokątów w kształcie latawca) o kątach wewnętrznych 60°, 90°, 120° i 90°. Sześć takich deltoidów można uzyskać z jednego sześciokąta foremnego, krojąc go trzema cięciami wzdłuż linii łączących środki przeciwległych boków. Czterej współautorzy odkrycia, David Smith, Joseph Samuel Myers, Craig S. Kaplan i Chaim Goodman-Strauss, stanowią zespół brytyjsko-kanadyjsko-amerykański.
Ze względu na występujące w nim kąty „kapelusz” nie układa się we wzory wykazujące lokalnie pięcio- lub dziesięciokrotną symetrię obrotową, charakterystyczną dla parkietaży Penrose’a. Zamiast tego tworzy częściowe symetrie trzy- lub sześciokrotne. Jeśli zatem odpowiadają mu w świecie kwazikryształów analogiczne układy atomów lub molekuł, to odnoszę wrażenie, że ich identyfikacja może być trudniejsza niż w przypadku kwazikryształów o symetrii pięciokrotnej, bo wzory dyfrakcyjne odpowiadające jego symetriom mogą nie być odróżnialne od tych, jakie powstają przy badaniach klasycznych układów krystalograficznych.
Można podejrzewać, że matematyczni kafelkarze już myślą o wyśrubowaniu rekordu i znalezieniu jeszcze prostszego einsteina o mniejszej liczbie boków. Trzymam kciuki za sukces takich poszukiwań.
Linki do oryginalnego artykułu, do popularnego omówienia wyników i do ładnych obrazków na Twitterze:
https://arxiv.org/pdf/2303.10798.pdf
Gwoli ścisłości to są dwa wielokąty będące wzajemnym odbiciem lustrzanym. Zresztą tak opisano je w twicie, jako bluzki i kapelusze.
W artykule autorzy określają to jako dwie różne orientacje tego samego wielokąta. Oczywiście, jeśli wykonać kafelki fizycznie, nie wyróżniając żadnej ze stron, to orientację łatwo zmienić, obracając kafelek tak, że strona spodnia staje się górną. Definicja einsteina jest przy tym spełniona, bo chodzi o jeden wielokąt z dokładnością do symetrii.
Kiedyś (dawano temu) grywałem trochę w szachy. No to chętnie bum zobaczył grę powstałą przez transkrypcję szachów do deltoidalnej szachownicy. To by była dopiero gra !!!